Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
lim x +infty raizx^5-8 x+16=+infty

Passo 1

Resumindo: queremos provar que, para a função
f(x)=raizx^5-8x+16,
vale
limxto+inftyf(x)=+infty
Este é um limite do tipo “ xto+infty” em que a imagem de f tende a +infty.
Definição formal: dizemos que limxto+inftyf(x)=+infty se, para todo M>0, existe X>0 tal que, para todo x>X,
f(x)>M

Passo 2

Vamos encontrar uma estimativa abaixo de f(x) que cresça sem limite. Note que, para x>=2:
  1. x^5>=16x, pois x^4>=2^4=16 implica x^5=xcdot x^4>=16x.
  2. Logo
x^5-8x = x^5 - (8x)>= x^5 - tfrac12x^5 = tfrac12,x^5,
já que 8x<=tfrac12x^5 quando x>=2.
3. Portanto, para x>=2,
x^5 - 8x + 16 ;>=; tfrac12,x^5
Tomando raiz quadrada, obtemos
raizx^5 - 8x + 16;>=;raiztfrac12,x^5 =x^5/2raiz2

Passo 3

Dado M>0, queremos f(x)>M. Basta garantir
x^5/2raiz2>M Long<=ftrightarrow x^5/2>M,raiz2 Long<=ftrightarrow x>l(Mraiz2r)^2/5
Escolhemos
X=max!l2,;l(Mraiz2r)^2/5r
Então, se x>X teremos simultaneamente x>=2 (para valer a estimativa) e x>(Mraiz2)^2/5, de modo que
f(x)=raizx^5-8x+16>=x^5/2raiz2>M
Isto mostra, pela definição formal, que limxto+inftyf(x)=+infty.

Resposta

limxto+inftyraizx^5-8x+16=+infty

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