Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.
\int\left(\sqrt{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por derivação, que a antiderivada de
\int\bigl(\sqrt{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,dx
está correta. O conteúdo é a regra de potência para integração e a verificação ocorrerá aplicando a derivada à função obtida.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos os radicais como potências:
\sqrt{x^{3}} = (x^{3})^{\tfrac12} = x^{\tfrac32}, \qquad \sqrt[3]{x^{2}} = (x^{2})^{\tfrac13} = x^{\tfrac23}.
Logo a integral vira
\int\bigl(x^{\tfrac32} + x^{\tfrac23}\bigr)\,dx.

Passo 3

Usamos a regra de potência para integração, isto é,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.
Aplicando termo a termo:
\int x^{\tfrac32}\,dx = \frac{x^{\tfrac32 + 1}}{\tfrac32 + 1} = \frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} = \frac{2}{5}\,x^{\tfrac52},
\int x^{\tfrac23}\,dx = \frac{x^{\tfrac23 + 1}}{\tfrac23 + 1} = \frac{x^{\tfrac53}}{\tfrac53} = \frac{3}{5}\,x^{\tfrac53}.

Passo 4

Somando os resultados, uma primitiva é
F(x) = \frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} + \frac{3}{5}\,x^{\tfrac53} + C.

Passo 5

Agora verificamos por derivação:
F'(x) = \frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}\,x^{\tfrac52-1} + \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{3}\,x^{\tfrac53-1} = x^{\tfrac32} + x^{\tfrac23},
que é exatamente o integrando \sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}}. Portanto a fórmula está correta.

Resposta

\int\bigl(\sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,dx = \frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} + \frac{3}{5}\,x^{\tfrac53} + C.

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