Exercício 0.16 Seja A um subconjunto não vazio e limitado de \mathbb{R}. Dado a \in \mathbb{R} considere os conjuntos a A=\{a x ; x \in A\} \quad e \quad a+A=\{a+x ; x \in A\}
(i) Mostre que aS e a +A são não vazios e limitados.
(ii) Se a \geq 0 mostre que \sup (a A)=a \cdot \sup S e \inf (a A)=a \cdot \inf A.
(iii) Se a<0 mostre que \sup (a A)=a \cdot \inf A e \inf (a A)=a \cdot \sup A.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto não vazio e limitado A\subset\mathbb{R}. Definimos
aA = \{\,a x \mid x\in A\}, \qquad a + A = \{\,a + x \mid x\in A\}.
O que precisamos usar é a definição de conjunto limitado (existe cotas finitas) e as propriedades de supremo, ínfimo e preservação ou inversão de ordem ao multiplicar por uma constante real.

Passo 2

Mostramos que aA é não vazio e limitado.
Como A\neq\emptyset, existe x_0\in A. Então a x_0\in aA, logo aA\neq\emptyset.
Como A é limitado, existe M>0 tal que \lvert x\rvert\le M para todo x\in A. Daí
\lvert a x\rvert = \lvert a\rvert\cdot\lvert x\rvert \le \lvert a\rvert\,M,
então todos os elementos de aA ficam em [-\lvert a\rvert M,\;\lvert a\rvert M]. Logo aA é limitado.

Passo 3

Mostramos que a + A é não vazio e limitado.
Como A\neq\emptyset, para x_0\in A temos a + x_0\in a+A, logo a+A\neq\emptyset.
Como A é limitado, existem m e M tais que
m \le x \le M \quad\text{para todo }x\in A.
Somando a em todas as desigualdades,
a + m \le a + x \le a + M,
mostrando que a+A\subset [\,a+m,\;a+M], portanto é limitado.

Passo 4

Suponha a\ge 0. Queremos \sup(aA)=a\sup A e \inf(aA)=a\inf A.
Como a\ge0, a multiplicação preserva ordem: para todo x\in A temos
x \le \sup A \quad\Longrightarrow\quad a x \le a\,\sup A,
portanto a\,\sup A é cota superior de aA.
Para ver que é a menor cota, seja \varepsilon>0. Pela definição de supremo existe x_\varepsilon\in A tal que
\sup A - \frac{\varepsilon}{a} < x_\varepsilon \le \sup A.
Multiplicando por a\ge0 obtemos
a\,\sup A - \varepsilon < a\,x_\varepsilon \le a\,\sup A,
logo qualquer número menor que a\,\sup A não é cota. Assim \sup(aA)=a\,\sup A.
Analogamente, para todo x\in A temos
\inf A \le x \quad\Longrightarrow\quad a\,\inf A \le a\,x,
logo a\,\inf A é cota inferior de aA. E pelo mesmo argumento \inf(aA)=a\,\inf A.

Passo 5

Suponha a<0. Agora a multiplicação inverte a ordem: se x\le y então a x\ge a y.
Para todo x\in A,
x \ge \inf A \quad\Longrightarrow\quad a x \le a\,\inf A,
logo a\,\inf A é cota superior de aA. Pelo mesmo argumento de aproximação com \varepsilon>0 conclui-se \sup(aA)=a\,\inf A.
De modo parecido,
x \le \sup A \quad\Longrightarrow\quad a x \ge a\,\sup A,
então a\,\sup A é cota inferior de aA e, pelo argumento de aproximação, \inf(aA)=a\,\sup A.

Resposta

(i) Tanto aA quanto a+A são não vazios e limitados.
(ii) Se a\ge0 então \sup(aA)=a\sup A e \inf(aA)=a\inf A.
(iii) Se a<0 então \sup(aA)=a\inf A e \inf(aA)=a\sup A.

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