\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix}.
Informações dadas:
A matriz é 3\times3 com colunas formadas por 1,x,x^{2}, por 1,y,y^{2} e por 1,z,z^{2}.
Precisa-se calcular (ou verificar) o valor do determinante dessa matriz.
Passo 2
Vamos usar operações em colunas que preservam o determinante para simplificar a matriz antes de calcular. Lembrete útil sobre determinantes e operações em colunas:
Subtrair uma coluna de outra (por exemplo, substituir C_j por C_j-C_i) não altera o valor do determinante.
Se uma coluna ficar com muitos zeros, fica fácil calcular o determinante por expansão.
Com isso em mente, aplicaremos operações simples nas colunas para obter zeros na primeira linha, exceto em uma coluna.
Passo 3
Faço as operações de coluna:
C_2 \leftarrow C_2 - C_1,
C_3 \leftarrow C_3 - C_1.
A matriz original
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix}
Agora calculo o determinante dessa nova matriz. Expandindo pela primeira linha (que é (1,0,0)), o determinante da 3\times3 reduz-se ao determinante do menor 2\times2 obtido removendo a primeira linha e a primeira coluna: