Verifique que o determinante da matriz
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz é 3\times3 com colunas formadas por 1,x,x^{2}, por 1,y,y^{2} e por 1,z,z^{2}.
  • Precisa-se calcular (ou verificar) o valor do determinante dessa matriz.

Passo 2

Vamos usar operações em colunas que preservam o determinante para simplificar a matriz antes de calcular. Lembrete útil sobre determinantes e operações em colunas:
  • Subtrair uma coluna de outra (por exemplo, substituir C_j por C_j-C_i) não altera o valor do determinante.
  • Se uma coluna ficar com muitos zeros, fica fácil calcular o determinante por expansão.
Com isso em mente, aplicaremos operações simples nas colunas para obter zeros na primeira linha, exceto em uma coluna.

Passo 3

Faço as operações de coluna:
  • C_2 \leftarrow C_2 - C_1,
  • C_3 \leftarrow C_3 - C_1.
A matriz original
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix}
fica, após as operações, igual a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ x & y-x & z-x \\\ x^{2} & y^{2}-x^{2} & z^{2}-x^{2} \end{pmatrix},
e o determinante permanece o mesmo.

Passo 4

Agora calculo o determinante dessa nova matriz. Expandindo pela primeira linha (que é (1,0,0)), o determinante da 3\times3 reduz-se ao determinante do menor 2\times2 obtido removendo a primeira linha e a primeira coluna:
\det = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y-x & z-x \\\ y^{2}-x^{2} & z^{2}-x^{2} \end{vmatrix}.

Passo 5

Calculo o determinante do 2\times2 explicitamente:
\det = (y-x)(z^{2}-x^{2}) - (z-x)(y^{2}-x^{2}).

Passo 6

Uso a fatoração de diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Assim
y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x),\qquad z^{2}-x^{2}=(z-x)(z+x).
Substituo na expressão do determinante:
\det = (y-x)\bigl((z-x)(z+x)\bigr) - (z-x)\bigl((y-x)(y+x)\bigr).

Passo 7

Coloco em evidência os fatores comuns (y-x) e (z-x):
\det = (y-x)(z-x)(z+x) - (y-x)(z-x)(y+x).
Agrupando:
\det = (y-x)(z-x)\bigl((z+x)-(y+x)\bigr).
No parêntese final (z+x)-(y+x)=z-y. Logo
\det = (y-x)(z-x)(z-y).

Resposta

(y-x)(z-x)(z-y)

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