Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
Passo 1
O enunciado dá a densidade
e pede para verificar se essa família de distribuições pertence à família exponencial. Informações relevantes fornecidas:
- A função densidade depende de dois parâmetros
e (não foi dito explicitamente se algum é conhecido). - A variável aleatória
toma valores em . - A pergunta é geral: identificar se a família (com quais parâmetros variando) é ou não uma família exponencial.
Passo 2
Vou lembrar a forma geral (canônica) de uma família exponencial e explicar cada termo, porque isso é essencial para reconhecer a estrutura.
A forma geral de uma família exponencial (univariada, para ficar simples) pode ser escrita como
onde:
-
depende só da observação ; -
é a estatística suficiente (depende só de ); -
é a (ou as) função(ões) do parâmetro (parâmetro natural); -
é uma função do parâmetro que garante normalização.
Importante: para ser família exponencial, os termos que envolvemno expoente devem ser combinações lineares de estatísticas que NÃO dependem dos parâmetros. Ou seja, os únicos objetos que podem depender do parâmetro são os coeficientes e a função .
Passo 3
Vamos manipular a densidade algebraicamente para ver se ela se ajusta à forma acima. Primeiro tomo o logaritmo para visualizar os termos:
Agora observe os termos que aparecem:
-
depende só de (parâmetro) — termo de normalização multiplicativo em ou em . -
mistura parâmetro com função de (no caso ). -
depende só de . -
mistura com através de .
Para decidir se a família é exponencial precisamos ver se esses termos com
no expoente podem ser escritos como coeficientes (funções dos parâmetros) multiplicando funções de
que NÃO dependem dos parâmetros.
Passo 4
Caso 1: suposição prática muito comum —
é conhecido e
é o único parâmetro desconhecido.
Se
é fixo (constante), então
e
são funções de
e constantes conhecidas, e o único termo que envolve o parâmetro
de forma não-trivial é
Defina
(parâmetro alternativo). Reescrevendo a densidade:
Aqui podemos identificar:
-
(depende apenas de ); -
(estatística que depende apenas de ); - a parte que depende do parâmetro está na forma
com e .
Isto está exatamente na forma de família exponencial de um parâmetro. Portanto, quandoé conhecido, a família é uma família exponencial univariada com estatística suficiente (para uma amostra a estatística suficiente conjunta é ).
Explicando de forma prática: a dependência de
aparece apenas como
e
multiplicando
. Ao mudar para
vemos que o expoente é linear em
(coeficiente
), e isso é a assinatura de família exponencial.
Passo 5
Caso 2:
também é desconhecido (ou seja, ambos
e
variam).
Agora olhe novamente para
O problema crítico é o termo
. Esse termo contém
, que depende simultaneamente de
e do parâmetro
. Para escrever a densidade na forma exponencial é necessário que as funções de
que aparecem multiplicadas por coeficientes dependentes do parâmetro sejam funções de
que não dependem dos parâmetros. Aqui não é possível isolar uma estatística
que seja independente de
e tal que o expoente seja uma combinação linear de
com coeficientes que dependem apenas de
. Em outras palavras, não existe representação do tipo
com
livre de
, porque
envolve
.
Portanto, quando é desconhecido, a família dada NÃO é, em geral, uma família exponencial no espaço de parâmetros
.
Portanto, quando
Passo 6
Resumo intuitivo e dica de prova na prova: o teste rápido é tentar escrever o log da densidade e checar se todas as expressões que multiplicam funções de
têm a forma “função do parâmetro × função de
(esta última sem depender do parâmetro)”. Se alguma potência ou função de
envolver o parâmetro na própria forma de
(como
com
variável), a família não é exponencial com esse parâmetro desconhecido.
Resposta
Se
é conhecido: sim — pertence à família exponencial (parâmetro
, estatística suficiente
).
Se é desconhecido (ambos
e
variando): não — não é família exponencial em
.
Se