Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
f(y)=\frac{\gamma}{\beta} y^{\gamma-1} \exp \left(-\frac{y^{\gamma}}{\beta}\right), \quad y>0

Passo 1

O enunciado dá a densidade
f(y)=\frac{\gamma}{\beta}\,y^{\gamma-1}\exp\!\left(-\frac{y^{\gamma}}{\beta}\right),\qquad y>0,
e pede para verificar se essa família de distribuições pertence à família exponencial. Informações relevantes fornecidas:
  • A função densidade depende de dois parâmetros \beta>0 e \gamma>0 (não foi dito explicitamente se algum é conhecido).
  • A variável aleatória y toma valores em (0,\infty).
  • A pergunta é geral: identificar se a família (com quais parâmetros variando) é ou não uma família exponencial.

Passo 2

Vou lembrar a forma geral (canônica) de uma família exponencial e explicar cada termo, porque isso é essencial para reconhecer a estrutura.
A forma geral de uma família exponencial (univariada, para ficar simples) pode ser escrita como
f(y;\theta)=h(y)\exp\!\big( \eta(\theta)\,T(y)-A(\theta)\big),
onde:
  • h(y) depende só da observação y;
  • T(y) é a estatística suficiente (depende só de y);
  • \eta(\theta) é a (ou as) função(ões) do parâmetro \theta (parâmetro natural);
  • A(\theta) é uma função do parâmetro que garante normalização.
    Importante: para ser família exponencial, os termos que envolvem y no expoente devem ser combinações lineares de estatísticas T_i(y) que NÃO dependem dos parâmetros. Ou seja, os únicos objetos que podem depender do parâmetro são os coeficientes \eta(\theta) e a função A(\theta).

Passo 3

Vamos manipular a densidade algebraicamente para ver se ela se ajusta à forma acima. Primeiro tomo o logaritmo para visualizar os termos:
\ln f(y)=\ln\gamma+(\gamma-1)\ln y-\ln\beta-\frac{y^{\gamma}}{\beta}.
Agora observe os termos que aparecem:
  • \ln\gamma depende só de \gamma (parâmetro) — termo de normalização multiplicativo em h ou em A.
  • (\gamma-1)\ln y mistura parâmetro \gamma com função de y (no caso \ln y).
  • -\ln\beta depende só de \beta.
  • -\dfrac{y^{\gamma}}{\beta} mistura \beta,\gamma com y através de y^{\gamma}.
Para decidir se a família é exponencial precisamos ver se esses termos com y no expoente podem ser escritos como coeficientes (funções dos parâmetros) multiplicando funções de y que NÃO dependem dos parâmetros.

Passo 4

Caso 1: suposição prática muito comum — \gamma é conhecido e \beta é o único parâmetro desconhecido.
Se \gamma é fixo (constante), então (\gamma-1)\ln y e \ln\gamma são funções de y e constantes conhecidas, e o único termo que envolve o parâmetro \beta de forma não-trivial é
-\ln\beta-\frac{y^{\gamma}}{\beta}.
Defina \theta=\frac{1}{\beta} (parâmetro alternativo). Reescrevendo a densidade:
f(y)=\gamma y^{\gamma-1}\exp\!\big(\ln\theta-\theta y^{\gamma}\big).
Aqui podemos identificar:
  • h(y)=\gamma y^{\gamma-1} (depende apenas de y);
  • T(y)=y^{\gamma} (estatística que depende apenas de y);
  • a parte que depende do parâmetro está na forma \eta(\theta)T(y)+s(\theta) com \eta(\theta)=-\theta e s(\theta)=\ln\theta.
    Isto está exatamente na forma de família exponencial de um parâmetro. Portanto, quando \gamma é conhecido, a família é uma família exponencial univariada com estatística suficiente T(y)=y^{\gamma} (para uma amostra y_1,\dots,y_n a estatística suficiente conjunta é \sum_{i=1}^n y_i^{\gamma}).
Explicando de forma prática: a dependência de \beta aparece apenas como \ln\beta e 1/\beta multiplicando y^\gamma. Ao mudar para \theta=1/\beta vemos que o expoente é linear em T(y)=y^\gamma (coeficiente -\theta), e isso é a assinatura de família exponencial.

Passo 5

Caso 2: \gamma também é desconhecido (ou seja, ambos \beta e \gamma variam).
Agora olhe novamente para
\ln f(y)=\ln\gamma+(\gamma-1)\ln y-\ln\beta-\frac{y^{\gamma}}{\beta}.
O problema crítico é o termo \dfrac{y^{\gamma}}{\beta}. Esse termo contém y^{\gamma}, que depende simultaneamente de y e do parâmetro \gamma. Para escrever a densidade na forma exponencial é necessário que as funções de y que aparecem multiplicadas por coeficientes dependentes do parâmetro sejam funções de y que não dependem dos parâmetros. Aqui não é possível isolar uma estatística T(y) que seja independente de \gamma e tal que o expoente seja uma combinação linear de T(y) com coeficientes que dependem apenas de \beta,\gamma. Em outras palavras, não existe representação do tipo
\text{(função de }y)\times\exp\!\big(\text{coeficiente}(\beta,\gamma)\cdot T(y)\big)çã
com T(y) livre de \gamma, porque T(y)=y^{\gamma} envolve \gamma.
Portanto, quando \gamma é desconhecido, a família dada NÃO é, em geral, uma família exponencial no espaço de parâmetros (\beta,\gamma).

Passo 6

Resumo intuitivo e dica de prova na prova: o teste rápido é tentar escrever o log da densidade e checar se todas as expressões que multiplicam funções de y têm a forma “função do parâmetro × função de y (esta última sem depender do parâmetro)”. Se alguma potência ou função de y envolver o parâmetro na própria forma de T(y) (como y^{\gamma} com \gamma variável), a família não é exponencial com esse parâmetro desconhecido.

Resposta

Se \gamma é conhecido: sim — pertence à família exponencial (parâmetro \beta, estatística suficiente y^{\gamma}).
Se \gamma é desconhecido (ambos \beta e \gamma variando): não — não é família exponencial em (\beta,\gamma).

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