Verifique que duas retas r_{1}: y=a x+b e r_{2}: y=A x+B são perpendiculares se somente se a \cdot A=-1.

Passo 1

O enunciado dá duas retas na forma angular:
r_{1}: y = a x + b
r_{2}: y = A x + B
O que ele pede é verificar (provar) que as duas retas são perpendiculares se, e somente se, \;a\cdot A = -1.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas retas estão escritas na forma y = (\text{slope})\cdot x + (\text{intercepto}), portanto cada uma tem um coeficiente angular bem definido: para r_{1} o coeficiente angular é a e para r_{2} é A.
  • Os termos b e B são os interceptos no eixo y, mas não influenciam a perpendicularidade (apenas o posicionamento das retas).
  • A conclusão pedida é uma equivalência lógica: devemos mostrar tanto que, se as retas são perpendiculares então a\cdot A=-1, quanto que se a\cdot A=-1 então as retas são perpendiculares.

Passo 2

Entendendo direção de uma reta de forma bem concreta: uma reta escrita como \;y = a x + b\; tem coeficiente angular \;a\;, que nos diz quanto y varia quando x varia. Se eu aumento x em \Delta x = 1, então y aumenta em \Delta y = a. Assim, um vetor paralelo à reta r_{1} pode ser escolhido como
v_{1} = (1,\,a),
porque ele representa um deslocamento de \Delta x=1 e \Delta y=a. De maneira análoga, a reta r_{2} tem um vetor direção
v_{2} = (1,\,A).
Esses vetores apontam na direção das retas; se os vetores são perpendiculares, então as retas também são perpendiculares, e vice‑versa.

Passo 3

Aula rápida sobre produto escalar (dot product) e perpendicularidade: para dois vetores em \mathbb{R}^2,
u = (u_1,u_2),\qquad w=(w_1,w_2),
o produto escalar é definido por
u\cdot w = u_1 w_1 + u_2 w_2.
Uma propriedade fundamental é: dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se, e somente se, seu produto escalar é zero. Intuição simples: o produto escalar também pode ser escrito como |u||w|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles; para \theta=90^\circ temos \cos\theta=0 e o produto escalar é zero. Aqui vamos usar a forma coordenada u_1 w_1 + u_2 w_2 porque é direta e não exige cálculo de ângulos.

Passo 4

Aplicando o produto escalar aos vetores direção que identificamos:
v_{1}\cdot v_{2} = (1,\,a)\cdot(1,\,A) = 1\cdot 1 + a\cdot A = 1 + aA.
Pelo item anterior, v_{1} e v_{2} são perpendiculares se, e somente se, v_{1}\cdot v_{2}=0. Portanto
v_{1}\perp v_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 1 + aA = 0.
Isolando o produto dos coeficientes angulares obtemos
1 + aA = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad aA = -1.

Passo 5

Concluindo a equivalência pedida: como as retas r_{1} e r_{2} são perpendiculares exatamente quando seus vetores direção são perpendiculares, juntando com o resultado do passo anterior temos
r_{1}\perp r_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad a\cdot A = -1.
Isso prova ambas as direções: se as retas são perpendiculares então aA=-1; e se aA=-1 então os vetores direção têm produto escalar zero, logo as retas são perpendiculares.

Passo 6

Observação prática e exemplo rápido para firmar a ideia: se a=2 e A=-\tfrac{1}{2}, então aA = 2\cdot(-\tfrac{1}{2})=-1, então as retas y=2x+b e y=-\tfrac{1}{2}x+B são perpendiculares. Nota final: a demonstração acima assume que as retas estão na forma y=ax+b, ou seja, não são retas verticais (que têm coeficiente angular indefinido). Reta vertical não pode ser escrita nessa forma; nesse caso a perpendicularidade com uma reta de coeficiente m corresponderia a m\cdot(\infty)=-1, o que não faz sentido — por isso tratamos apenas do caso em que ambos os coeficientes angulares a e A existem (são números reais).

Resposta

As retas são perpendiculares se e somente se a\cdot A = -1.

Exercícios relacionados