Verifique que duas retas
e
são perpendiculares se somente se
.
Passo 1
O enunciado dá duas retas na forma angular:
O que ele pede é verificar (provar) que as duas retas são perpendiculares se, e somente se,
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- As duas retas estão escritas na forma
, portanto cada uma tem um coeficiente angular bem definido: para o coeficiente angular é e para é . - Os termos
e são os interceptos no eixo , mas não influenciam a perpendicularidade (apenas o posicionamento das retas). - A conclusão pedida é uma equivalência lógica: devemos mostrar tanto que, se as retas são perpendiculares então
, quanto que se então as retas são perpendiculares.
Passo 2
Entendendo direção de uma reta de forma bem concreta: uma reta escrita como
tem coeficiente angular
, que nos diz quanto
varia quando
varia. Se eu aumento
em
, então
aumenta em
. Assim, um vetor paralelo à reta
pode ser escolhido como
porque ele representa um deslocamento de
e
. De maneira análoga, a reta
tem um vetor direção
Esses vetores apontam na direção das retas; se os vetores são perpendiculares, então as retas também são perpendiculares, e vice‑versa.
Passo 3
Aula rápida sobre produto escalar (dot product) e perpendicularidade: para dois vetores em
,
o produto escalar é definido por
Uma propriedade fundamental é: dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se, e somente se, seu produto escalar é zero. Intuição simples: o produto escalar também pode ser escrito como
, onde
é o ângulo entre eles; para
temos
e o produto escalar é zero. Aqui vamos usar a forma coordenada
porque é direta e não exige cálculo de ângulos.
Passo 4
Aplicando o produto escalar aos vetores direção que identificamos:
Pelo item anterior,
e
são perpendiculares se, e somente se,
. Portanto
Isolando o produto dos coeficientes angulares obtemos
Passo 5
Concluindo a equivalência pedida: como as retas
e
são perpendiculares exatamente quando seus vetores direção são perpendiculares, juntando com o resultado do passo anterior temos
Isso prova ambas as direções: se as retas são perpendiculares então
; e se
então os vetores direção têm produto escalar zero, logo as retas são perpendiculares.
Passo 6
Observação prática e exemplo rápido para firmar a ideia: se
e
, então
, então as retas
e
são perpendiculares. Nota final: a demonstração acima assume que as retas estão na forma
, ou seja, não são retas verticais (que têm coeficiente angular indefinido). Reta vertical não pode ser escrita nessa forma; nesse caso a perpendicularidade com uma reta de coeficiente
corresponderia a
, o que não faz sentido — por isso tratamos apenas do caso em que ambos os coeficientes angulares
e
existem (são números reais).
Resposta
As retas são perpendiculares se e somente se
.