Considere o produto interno usual no
. Verifique se os seguintes conjuntos são bases ortonormais.
Passo 1
O enunciado dá o produto interno usual em
e pede para verificar se o conjunto
é uma base ortonormal. Informações relevantes fornecidas:
O que devemos checar: (1) se
e
são ortogonais (
) e (2) se cada um tem norma
(
). Se ambas as condições valem, o conjunto é uma base ortonormal de
.
Passo 2
Definições e fórmulas importantes (explicadas de forma direta):
- Produto interno usual em
: para e ,
Isto significa: multiplica-se componente a componente e soma-se.
- Norma induzida pelo produto interno: para
,
Ou seja, calcula-se o produto interno do vetor consigo mesmo e tira-se a raiz quadrada.
- Para ser ortonormal: cada vetor deve ter
e quaisquer dois vetores distintos devem satisfazer .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos vetores
e
.
Passo 3
Calcular a norma de
: primeiro o produto interno
.
Agora as contas:
Somando:
Logo a norma é
Observação importante:
. Portanto
não é um vetor unitário.
Passo 4
Calcular a norma de
: primeiro
.
Agora as contas:
Somando:
Logo a norma é
Observação:
. Portanto
também não é unitário.
Passo 5
Verificar ortogonalidade calculando
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Como
, os vetores
e
não são ortogonais.
Passo 6
Conclusão lógica e interpretação: para que o conjunto fosse ortonormal era necessário que cada vetor fosse unitário e que fossem mutuamente ortogonais. Encontramos:
Portanto falham ambas as condições (unidade e ortogonalidade). Logo o conjunto não é uma base ortonormal de
.
Resposta
Não — o conjunto não é uma base ortonormal.