Considere o produto interno usual no \mathbb{R}^{2}. Verifique se os seguintes conjuntos são bases ortonormais.
\{(2 / 5,-1 / \sqrt{5}),(1 / 5,2 / \sqrt{5})\}

Passo 1

O enunciado dá o produto interno usual em \mathbb{R}^2 e pede para verificar se o conjunto
\left\{\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\;\left(\frac{1}{5},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right\}
é uma base ortonormal. Informações relevantes fornecidas:
u=\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\qquad v=\left(\frac{1}{5},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
O que devemos checar: (1) se u e v são ortogonais ( \langle u,v\rangle=0) e (2) se cada um tem norma 1 ( \|u\|=\|v\|=1). Se ambas as condições valem, o conjunto é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Definições e fórmulas importantes (explicadas de forma direta):
  • Produto interno usual em \mathbb{R}^2: para a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2),
\langle a,b\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2.
Isto significa: multiplica-se componente a componente e soma-se.
  • Norma induzida pelo produto interno: para a,
\|a\| = \sqrt{\langle a,a\rangle}.
Ou seja, calcula-se o produto interno do vetor consigo mesmo e tira-se a raiz quadrada.
  • Para ser ortonormal: cada vetor deve ter \|\,\cdot\,\|=1 e quaisquer dois vetores distintos devem satisfazer \langle \cdot,\cdot\rangle=0.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos vetores u e v.

Passo 3

Calcular a norma de u: primeiro o produto interno \langle u,u\rangle.
\langle u,u\rangle = \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2.
Agora as contas:
\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25},\qquad \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5} = \frac{5}{25}.
Somando:
\langle u,u\rangle = \frac{4}{25} + \frac{5}{25} = \frac{9}{25}.
Logo a norma é
\|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.
Observação importante: \frac{3}{5}\neq 1. Portanto u não é um vetor unitário.

Passo 4

Calcular a norma de v: primeiro \langle v,v\rangle.
\langle v,v\rangle = \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2.
Agora as contas:
\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25},\qquad \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} = \frac{20}{25}.
Somando:
\langle v,v\rangle = \frac{1}{25} + \frac{20}{25} = \frac{21}{25}.
Logo a norma é
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}.
Observação: \frac{\sqrt{21}}{5}\neq 1. Portanto v também não é unitário.

Passo 5

Verificar ortogonalidade calculando \langle u,v\rangle:
\langle u,v\rangle = \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5} + \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}.
Calculemos termo a termo:
\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{25},\qquad \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{5} = -\frac{10}{25}.
Somando:
\langle u,v\rangle = \frac{2}{25} - \frac{10}{25} = -\frac{8}{25}.
Como -\frac{8}{25}\neq 0, os vetores u e v não são ortogonais.

Passo 6

Conclusão lógica e interpretação: para que o conjunto fosse ortonormal era necessário que cada vetor fosse unitário e que fossem mutuamente ortogonais. Encontramos:
\|u\|=\frac{3}{5}\neq 1,\qquad \|v\|=\frac{\sqrt{21}}{5}\neq 1,\qquad \langle u,v\rangle=-\frac{8}{25}\neq 0.
Portanto falham ambas as condições (unidade e ortogonalidade). Logo o conjunto não é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.

Resposta

Não — o conjunto não é uma base ortonormal.

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