Considere no \mathbb{R}^{3} produto interno \left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+4 z_{1} z_{2}. Determine os valores de k para os quais os vetores u=(3 k, 1,-1) e v=(2,1, k) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá o produto interno em \mathbb{R}^{3}
\langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle = 2x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+4z_{1}z_{2},
e os vetores u=(3k,1,-1) e v=(2,1,k). A pergunta é: para quais valores de k os vetores u e v são ortogonais?

Passo 2

Definição que vamos usar: dois vetores são ortogonais relativamente a um produto interno se e somente se o produto interno entre eles for igual a zero. Em outras palavras, devemos impor
\langle u,v\rangle = 0.
Aqui \langle u,v\rangle significa calcular a expressão do produto interno dada, substituindo as componentes de u e v.

Passo 3

Agora substituímos as componentes de u e v na fórmula do produto interno e calculamos termo a termo.
O primeiro termo é 2x_{1}x_{2}. Com x_{1}=3k e x_{2}=2 temos
2\cdot(3k)\cdot 2 = 12k.
O segundo termo é y_{1}y_{2}. Com y_{1}=1 e y_{2}=1 temos
1\cdot 1 = 1.
O terceiro termo é 4z_{1}z_{2}. Com z_{1}=-1 e z_{2}=k temos
4\cdot(-1)\cdot k = -4k.
Somando os três termos obtemos
\langle u,v\rangle = 12k + 1 - 4k = 8k + 1.

Passo 4

Impondo ortogonalidade, igualamos a zero e resolvemos para k:
8k + 1 = 0.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
8k = -1.
Dividindo por 8:
k = -\tfrac{1}{8}.

Passo 5

Verificação rápida: substituindo k=-\tfrac{1}{8} na expressão 8k+1 temos 8\cdot(-\tfrac{1}{8})+1=-1+1=0, portanto fica consistente — há exatamente um valor de k que torna u e v ortogonais.

Resposta

k=-\tfrac{1}{8}

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