Considere no
produto interno
. Determine os valores de
para os quais os vetores
e
são ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá o produto interno em
e os vetores
e
. A pergunta é: para quais valores de
os vetores
e
são ortogonais?
Passo 2
Definição que vamos usar: dois vetores são ortogonais relativamente a um produto interno se e somente se o produto interno entre eles for igual a zero. Em outras palavras, devemos impor
Aqui
significa calcular a expressão do produto interno dada, substituindo as componentes de
e
.
Passo 3
Agora substituímos as componentes de
e
na fórmula do produto interno e calculamos termo a termo.
O primeiro termo é
. Com
e
temos
O segundo termo é
. Com
e
temos
O terceiro termo é
. Com
e
temos
Somando os três termos obtemos
Passo 4
Impondo ortogonalidade, igualamos a zero e resolvemos para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Verificação rápida: substituindo
na expressão
temos
, portanto fica consistente — há exatamente um valor de
que torna
e
ortogonais.