Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
(1+2y) sin (t) d yd t=-cos (t)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
(1+2y) sin (t) d yd t=-cos (t)
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se essa EDO é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a EDO no formato padrão de uma equação exata. Primeiro, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo:
(1+2y) sin(t) dydt + cos(t) = 0
Agora, identificamos as funções $ M(t,y) $ e $ N(t,y) $:
M(t,y)
N(t,y)

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
M
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial t} $:
y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial t} $, a EDO não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante $ \mu(t,y) $ que, ao multiplicar a EDO original, torne a equação exata. Geralmente, tentamos com fatores que dependem apenas de $ t $ ou apenas de $ y $.
Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de $ y $: $ \mu = \mu(y) $.
Depois de multiplicar a EDO por $ \mu(y) $, as funções ficam:
mu(t,y)
t

Passo 5

Para que a equação seja exata após a multiplicação, deve valer que:
partial M^*partial y = partial N^*partial t
Calculando as derivadas:
partial M^*partial y = mu'(y) (1+2y) sin(t) + mu(y) (-2y^2) sin(t)
partial N^*partial t = mu(y) (-sin(t))
Igualando as duas expressões:
mu'(y) (1+2y) sin(t) - mu(y) 2y^2 sin(t) = -mu(y) sin(t)

Passo 6

Dividindo ambos os lados por $ \sin(t) $ (já que $ \sin(t) \neq 0 $):
sin(t)
Rearranjando os termos:
sin(t) neq 0

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial para $ \mu(y) $:
mu(y)
Vamos simplificar o lado direito:
mu'(y)mu(y) = 2y^2 -11+2y

Passo 8

Integrando ambos os lados:
integral mu'(y)mu(y) dy = integral 2 - y^2y^2 + 2 y dy
O lado esquerdo dá:
ln |mu(y)| = integral 2 - y^2y^2 + 2 y dy
Simplificando a fração:
= integral -y^2 + 2y^2 + 2 y dy = integral -(y^2 + 2 y) + 2 y + 2y^2 + 2 y dy = integral (-1 + 2 y + 2y^2 + 2 y) dy = integral (-1) dy + integral 2(y +1)y(y + 2) dy

Passo 9

Isso resulta em:
ln |mu(y)| = -y + 2 ln |y| - 2 ln |y + 2| + C
Ignorando a constante de integração e exponenciando ambos os lados:
mu(y) = e^-y cdot y^2 cdot (y + 2)^-2

Resposta

O fator integrante que torna a EDO exata é:
mu(y) = y^2 e^y (y + 2)^2

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