Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se essa EDO é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a EDO no formato padrão de uma equação exata. Primeiro, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo:
Agora, identificamos as funções $ M(t,y) $ e $ N(t,y) $:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial t} $:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial t} $, a EDO não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante $ \mu(t,y) $ que, ao multiplicar a EDO original, torne a equação exata. Geralmente, tentamos com fatores que dependem apenas de $ t $ ou apenas de $ y $.
Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de $ y $: $ \mu = \mu(y) $.
Depois de multiplicar a EDO por $ \mu(y) $, as funções ficam:
Passo 5
Para que a equação seja exata após a multiplicação, deve valer que:
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por $ \sin(t) $ (já que $ \sin(t) \neq 0 $):
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial para $ \mu(y) $:
Vamos simplificar o lado direito:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo dá:
Simplificando a fração:
Passo 9
Isso resulta em:
Ignorando a constante de integração e exponenciando ambos os lados:
Resposta
O fator integrante que torna a EDO exata é: