Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma EDO exata e como encontrar esse fator que nos ajuda a resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO no formato padrão de uma equação diferencial exata. A equação que temos é:
Podemos reorganizar isso para a forma $ M(t, y)dt + N(t, y)dy = 0 $. Vamos identificar $ M(t, y) $ e $ N(t, y) $:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ t $ e ver se são iguais. Se forem iguais, a equação é exata; se não, não é.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial t} $:
Passo 4
Comparando as derivadas:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} $ não é igual a $ \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, a torne exata.
Passo 5
Geralmente, procuramos um fator integrante que dependa apenas de $ t $ ou apenas de $ y $. Vamos tentar encontrar um fator $ \mu(t) $ que dependa somente de $ t $.
A fórmula para o fator integrante quando depende de $ t $ é:
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que já calculamos.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Então, o fator integrante é $ \mu(t) = e^{-4 t} $.
Resposta
O fator integrante que torna a EDO exata é $ \mu(t) = e^{-4 t} $.