Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
-6 t y+(4 y+9 t^2) d yd t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma EDO exata e como encontrar esse fator que nos ajuda a resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO no formato padrão de uma equação diferencial exata. A equação que temos é:
-6 t y + (4 y + 9 t^2) d yd t = 0
Podemos reorganizar isso para a forma $ M(t, y)dt + N(t, y)dy = 0 $. Vamos identificar $ M(t, y) $ e $ N(t, y) $:
M(t, y)dt + N(t, y)dy = 0
M(t, y)

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ t $ e ver se são iguais. Se forem iguais, a equação é exata; se não, não é.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
M
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial t} $:
y

Passo 4

Comparando as derivadas:
partial Mpartial y = -6 t neq 18 t = partial Npartial t
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} $ não é igual a $ \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, a torne exata.

Passo 5

Geralmente, procuramos um fator integrante que dependa apenas de $ t $ ou apenas de $ y $. Vamos tentar encontrar um fator $ \mu(t) $ que dependa somente de $ t $.
A fórmula para o fator integrante quando depende de $ t $ é:
t
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que já calculamos.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
mu(t) = e^integral 18 t - (-6 t)-6 t dt = e^integral 24 t-6 t dt = e^integral -4 dt = e^-4 t
Então, o fator integrante é $ \mu(t) = e^{-4 t} $.

Resposta

O fator integrante que torna a EDO exata é $ \mu(t) = e^{-4 t} $.

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