Verifique se a EDO de
ordem
é exata. Se for, resolva-a. Caso não seja, encontre o fator integrante para torná-la exata e resolva-a. Sabendo que
qual a solução particular?
Passo 1
Enunciado: temos a EDO de primeira ordem
Estamos no tema de equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Verificamos se ela é exata. Definindo
$$M(x,y)=y,
\quad N(x,y)=3+3x-y,
\frac{\partial M}{\partial y}=1,
\quad \frac{\partial N}{\partial x}=3.
$$
Como não são iguais, a equação não é exata.
Como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante dependente só de
. A condição é
mas isso depende de
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora
$$M*(x,y)=y3,
\quad N*(x,y)=3y2+3xy2-y3,
\frac{\partial M^*}{\partial y}=3y^2,
\quad \frac{\partial N^*}{\partial x}=3y^2,$$
logo é exata.
logo é exata.
Passo 5
Procuramos a função potencial
tal que
$$\frac{\partial \phi}{\partial x}=M*(x,y)=y3.
Derivando em
e igualando a
:
$$\frac{\partial \phi}{\partial y}=3x y^2 + h’(y)=3y^2+3x y^2 -y^3,
\quad h(y)=\int(3y2-y3)dy=y3-\frac{y4}{4}.$$
Passo 6
A solução geral implícita é
Usando a condição inicial