Verifique se a EDO de 1^0 ordem
y d x+(3+3 x-y) d y=0
é exata. Se for, resolva-a. Caso não seja, encontre o fator integrante para torná-la exata e resolva-a. Sabendo que y(1)=1 qual a solução particular?

Passo 1

Enunciado: temos a EDO de primeira ordem
y,dx + (3 + 3x - y),dy = 0
Estamos no tema de equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Verificamos se ela é exata. Definindo
$$M(x,y)=y,
\quad N(x,y)=3+3x-y, M(x,y)=y, N(x,y)=3+3x-y,\frac{\partial M}{\partial y}=1,
\quad \frac{\partial N}{\partial x}=3.
$$
Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante dependente só de y. A condição é
mu'(y) = mu(y),partial M/partial y - partial N/partial xN = mu(y),1-33+3x-y = mu(y),-23+3x-y,
mas isso depende de x,y. Em vez disso usamos a fórmula
partial N/partial x - partial M/partial yM = 3-1y = 2y,
que depende só de y. Logo
mu(y)=e^integral 2ydy=y^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^2:
y^3,dx + y^2(3+3x-y),dy=0
Agora
$$M*(x,y)=y3,
\quad N*(x,y)=3y2+3xy2-y3, M^*(x,y)=y^3, N^*(x,y)=3y^2+3xy^2-y^3,\frac{\partial M^*}{\partial y}=3y^2,
\quad \frac{\partial N^*}{\partial x}=3y^2,$$
logo é exata.

Passo 5

Procuramos a função potencial phi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \phi}{\partial x}=M*(x,y)=y3.
partial phipartial x=M^*(x,y)=y^3 \phi(x,y)=x,y^3 + h(y).$$
Derivando em x e igualando a phi(x,y)=x,y^3 + h(y):
$$\frac{\partial \phi}{\partial y}=3x y^2 + h’(y)=3y^2+3x y^2 -y^3,
yãh’(y)=3y2-y3,
\quad h(y)=\int(3y2-y3)dy=y3-\frac{y4}{4}.$$

Passo 6

A solução geral implícita é
phi(x,y)=(x+1)y^3-y^44=C
Usando a condição inicial y(1)=1:
C=(1+1)cdot1^3-tfrac1^44=2-tfrac14=tfrac74

Resposta

(x+1)y^3 - y^44 = 74

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