Pesquisadores de Harvard desenvolveram um novo sistema de frenagem em que a força que o sistema de frenagem aplica é proporcional a velocidade e o triplo do tempo decorrido de ativação do freio. Tal cenário pode ser modelado pela EDO
d yd t=-4 t^3 y
Encontre uma solução geral para esta equação diferencial. Se a velocidade inicial do objeto é 30 m / s qual a solução particular? Qual a velocidade do objeto após um segundo?

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de 1ª ordem que modela a variação da velocidade y em função do tempo t: dydt = -4t^3y. Precisamos encontrar a solução geral por separação de variáveis, depois aplicar a condição inicial y(0)=30 para obter a solução particular e, por fim, calcular y(1).

Passo 2

Separamos variáveis e integramos: temos
1y,dy = -4t^3,dt
Integrando ambos os lados:
integral 1y,dy = integral -4t^3,dt implies ln|y| = -t^4 + C

Passo 3

Exponentiando, obtemos a solução geral:
y(t) = Ce^-t^4

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=30:
y(0)=C e^0 = C = 30
Logo a solução particular é
y(t) = 30e^-t^4

Passo 5

Para saber a velocidade após 1 segundo, basta calcular
y(1) = 30e^-1 = 30e approx 11,04 m/s

Resposta

Solução geral: y(t)=Ce^-t^4. Solução particular com y(0)=30: y(t)=30e^-t^4. Velocidade em t=1: y(1)=30e^-1approx11,04 m/s.

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