Pesquisadores da NASA estavam estudando o movimento de uma partícula e descobriram que a velocidade da partícula satisfaz a equação diferencial
t d vd t=t^3 ln (t)-v, t>0
Esta EDO é linear? De qual ordem? Encontre a função que descreve a velocidade da partícula.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
tdvdt=t^3ln(t)-v,
com t>0. Precisamos identificar se essa EDO é linear, de que ordem, e encontrar a função v(t) que a satisfaz. Para isso, vamos reescrever na forma padrão de uma EDO de primeira ordem, usar fator integrante e integrar.

Passo 2

Como t>0, podemos dividir ambos os lados por t e colocar na forma padrão
dvdt+1t,v=t^2ln(t)
Aqui vemos que é uma EDO linear de primeira ordem, pois aparece v e dv/dt de forma linear.

Passo 3

Para resolver uma EDO linear de primeira ordem dv/dt+P(t)v=Q(t), calculamos o fator integrante
mu(t)=expgl(integral P(t),dtgr)=expl(integral1tdtr)=exp(ln t)=t

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t:
tdvdt+v=t^3ln(t)
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t,v:
ddtl(t,vr)=t^3ln(t)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t,v=integral t^3ln(t),dt + C
Para calcular integral t^3ln(t),dt, usemos integração por partes com
u=ln(t), dv=t^3dt, então du=dt/t e v=tfract^44:
integral t^3ln(t),dt=t^44ln(t)-integralt^44cdot1t,dt=t^44ln(t)-14integral t^3dt=t^44ln(t)-t^416

Passo 6

Substituindo de volta e isolando v:
t,v=t^44ln(t)-t^416+C
v(t)=1tl(t^44ln(t)-t^416+Cr)=t^34ln(t)-t^316+Ct

Resposta

A EDO é linear de primeira ordem. A solução geral é
v(t)=t^34ln(t)-t^316+Ct

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