Pesquisadores da NASA estavam estudando o movimento de uma partícula e descobriram que a velocidade da partícula satisfaz a equação diferencial
Esta EDO é linear? De qual ordem? Encontre a função que descreve a velocidade da partícula.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
com
. Precisamos identificar se essa EDO é linear, de que ordem, e encontrar a função
que a satisfaz. Para isso, vamos reescrever na forma padrão de uma EDO de primeira ordem, usar fator integrante e integrar.
Passo 2
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e colocar na forma padrão
Aqui vemos que é uma EDO linear de primeira ordem, pois aparece
e
de forma linear.
Passo 3
Para resolver uma EDO linear de primeira ordem
, calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
, usemos integração por partes com
,
, então
e
:
Passo 6
Substituindo de volta e isolando
:
Resposta
A EDO é linear de primeira ordem. A solução geral é