14- Calcular o volume do rólido Girando a região limitada Por y=x^2+2 x+2, y=-x^2+2 x+10, em torno de x=-1.
l x^2+2 x+2=-x x^2+2 x+2+x^2 2 x^2-8=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de x=-1 a região limitada pelas curvas
y1(x)=x^2+2x+2
e
y2(x)=-,x^2+2x+10
O conteúdo é cálculo de volume por cascas cilíndricas, que usa a fórmula
dV = 2pi (raio)times(a<ura),dx

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção resolvendo
x^2+2x+2 ;=;-,x^2+2x+10
Isso leva a
2x^2-8=0 Longrightarrow x^2=4 Longrightarrow x=-2,;2

Passo 3

Para usar cascas cilíndricas com x variando de -2 a 2:
  • O raio da casca em abscissa x é a distância até x=-1, ou seja r(x)=x-(-1)=x+1
  • A altura da casca é a diferença entre a curva superior y2 e a curva inferior y1: h(x)=y2(x)-y1(x) =l(-x^2+2x+10r)-l(x^2+2x+2r) =8-2x^2

Passo 4

O volume é dado por
V = integralx=-2^2 2pi,r(x),h(x),dx =2pi integral-2^2 (x+1),(8-2x^2),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral (x+1)(8-2x^2),dx &=integral l(8x+8-2x^3-2x^2r),dx &=-tfrac12x^4-tfrac23x^3+4x^2+8x + C
Avaliaremos de -2 a 2:
F(x)=-tfrac12x^4-tfrac23x^3+4x^2+8x
F(2)= -tfrac12cdot16 -tfrac23cdot8 +4cdot4 +8cdot2 = tfrac563, F(-2)= -tfrac12cdot16 -tfrac23cdot(-8) +4cdot4 +8cdot(-2)= -tfrac83
integral-2^2(x+1)(8-2x^2),dx =F(2)-F(-2) =tfrac563-l(-tfrac83r) =tfrac643
Portanto
V =2picdot tfrac643 =tfrac128pi3

Resposta

V = 128pi3

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