Encontrar os valores de extremos locais das funções:
g(x, y)=3 y^2-2 y^3-3 x^2+6 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
g(x,y)=3y^2-2y^3-3x^2+6xy
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: primeiro encontramos os pontos críticos resolvendo nabla g=0, depois classificamos cada ponto usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
O sistema
Da primeira equação vem ou , e como obtemos os pontos críticos

Passo 3

Para classificar, montamos a matriz Hessiana
H(x,y) = gxx&gxy[6pt] gxy&gyy
onde
gxx=-6, gxy=6, gyy=6-12y
Em (0,0):
H(0,0)=-6&66&6, det H(0,0)=(-6)(6)-6cdot6=-72<0,
então (0,0) é ponto de sela.
Em (2,2):
gyy(2,2)=6-12cdot2=-18, H(2,2)=-6&66&-18, det H(2,2)=(-6)(-18)-6cdot6=72>0,
e como gxx=-6<0, (2,2) é máximo local.]

Resposta

Ponto de sela em (0,0).
Máximo local em (2,2).
Não há mínimos locais.

Exercícios relacionados