Verifique se as EDOs de 1^{\mathrm{O}} ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
\left(2 y^{2}+3 x\right) d x+(2 x y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a equação diferencial é exata; se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata e então resolvê‑la. A equação dada é
\left(2 y^{2}+3 x\right)\,dx+(2 x y)\,dy=0.
Vou listar as informações que temos (peguei estes termos do enunciado):
  • M(x,y)=2y^{2}+3x é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=2xy é o coeficiente de dy.
    O que se pede:
  • Verificar se \,M\,dx+N\,dy=0 é exata.
  • Se não for exata, encontrar um fator integrante apropriado (dependendo só de x ou só de y) que torne a equação exata.
  • Resolver a equação resultante (encontrar a solução geral implícita).

Passo 2

Relembrando o teste de exatidão (outra coisinha importante que vou explicar): uma equação \,M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2y^{2}+3x\big)=4y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy\big)=2y.
Como 4y\neq2y em geral, a equação original NÃO é exata.

Passo 3

Agora vamos procurar um fator integrante simples. Dois candidatos comuns são \mu=\mu(x) (função só de x) ou \mu=\mu(y) (função só de y). Há um teste prático para \mu(x): se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
é uma função que depende apenas de x, então existe um fator integrante \mu(x) dado por \mu(x)=\exp\!\Big(\int \text{essa função} \,dx\Big)çã.
Calculo a diferença e divido por N:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=4y-2y=2y,
\frac{\,\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\,}{N}=\frac{2y}{2xy}=\frac{1}{x}.
Isso depende somente de x. Logo existe um fator integrante \mu(x). Calculamos:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Podemos escolher \mu(x)=x (equivalente até uma constante multiplicativa, tomando x\neq0). Observação prática: a solução final será válida para x\neq0; em provas costuma-se assumir x\neq0 ao usar este fator.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=x. Os novos coeficientes são
M^*(x,y)=xM=x(2y^{2}+3x)=2x y^{2}+3x^{2},
N^*(x,y)=xN=x(2xy)=2x^{2}y.
Verifico exatidão agora:
\frac{\partial M^*}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{2}+3x^{2}\big)=4x y,
\frac{\partial N^*}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{2}y\big)=4x y.
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por x é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^*(x,y)=2x y^{2}+3x^{2}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^*(x,y)=2x^{2}y.
Vou achar \Phi integrando M^* em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int (2x y^{2}+3x^{2})\,dx.
Faço a integral termo a termo: \int 2x y^{2}\,dx = y^{2}\int 2x\,dx = y^{2} x^{2}; \int 3x^{2}\,dx = x^{3}. Portanto
\Phi(x,y)=x^{2}y^{2}+x^{3}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque ao integrar em x a constante de integração pode depender de y).

Passo 6

Determino h(y) impondo \partial\Phi/\partial y=N^*. Calculo:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=2x^{2}y+h'(y).
Esta deve ser igual a N^*(x,y)=2x^{2}y. Assim
2x^{2}y+h'(y)=2x^{2}y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante, digamos C. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=x^{2}y^{2}+x^{3}+C.

Passo 7

A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos escrever a solução final (agrupando a constante) como
x^{2}y^{2}+x^{3}=K,
onde K é uma constante arbitrária (real). Opcionalmente, fatorando x^{2},
x^{2}\big(y^{2}+x\big)=K.
Lembrete amigável: esta solução foi obtida após multiplicar por \mu(x)=x, então é válida para x\neq0. Para x=0 a equação original precisa de análise separada (mas em geral a solução implícita acima cobre as soluções em regiões onde x não muda de sinal).

Resposta

x^{2}y^{2}+x^{3}=K

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