Verifique se as EDOs de
ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a equação diferencial é exata; se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata e então resolvê‑la. A equação dada é
Vou listar as informações que temos (peguei estes termos do enunciado):
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
O que se pede: - Verificar se
é exata. - Se não for exata, encontrar um fator integrante apropriado (dependendo só de
ou só de ) que torne a equação exata. - Resolver a equação resultante (encontrar a solução geral implícita).
Passo 2
Relembrando o teste de exatidão (outra coisinha importante que vou explicar): uma equação
é exata se existe uma função
tal que
e
. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
Calculo as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação original NÃO é exata.
Passo 3
Agora vamos procurar um fator integrante simples. Dois candidatos comuns são
(função só de
) ou
(função só de
). Há um teste prático para
: se
é uma função que depende apenas de
, então existe um fator integrante
dado por
.
Calculo a diferença e divido por
:
Isso depende somente de
. Logo existe um fator integrante
. Calculamos:
Podemos escolher
(equivalente até uma constante multiplicativa, tomando
). Observação prática: a solução final será válida para
; em provas costuma-se assumir
ao usar este fator.
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Os novos coeficientes são
Verifico exatidão agora:
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Vou achar
integrando
em relação a
(tratando
como constante):
Faço a integral termo a termo:
;
. Portanto
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque ao integrar em
a constante de integração pode depender de
).
Passo 6
Determino
impondo
. Calculo:
Esta deve ser igual a
. Assim
Logo
é constante, digamos
. Assim a função potencial é
Passo 7
A solução geral implícita da equação exata é
. Podemos escrever a solução final (agrupando a constante) como
onde
é uma constante arbitrária (real). Opcionalmente, fatorando
,
Lembrete amigável: esta solução foi obtida após multiplicar por
, então é válida para
. Para
a equação original precisa de análise separada (mas em geral a solução implícita acima cobre as soluções em regiões onde
não muda de sinal).