Verifique se a equação
representa uma hipérbole. Em caso afirmativo, encontre os focos, vértices, centro e assíntotas.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para verificar se ela representa uma hipérbole. Caso seja hipérbole, quer-se encontrar os focos, vértices, centro e assíntotas.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Coeficientes dos termos quadráticos:
em e em . - Termos lineares:
e . - Termo constante:
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a cônica completando quadrados para identificar o centro e a forma canônica. Vou agrupar termos em
e
:
Agora fatorar os coeficientes dos quadrados antes de completar quadrados:
Passo 3
Completar o quadrado em cada parêntese. Lembrando: completar quadrado para
é
, porque
. Para
é
, porque
. Substituindo:
Distribuindo os coeficientes:
Somando as constantes
. Portanto:
Passo 4
Isolar o termo constante e dividir para obter a forma padrão. Somando
em ambos os lados e dividindo por
:
Simplificando as frações:
e
. Assim obtemos a forma canônica
Passo 5
Interpretação da forma canônica e identificação do tipo de cônica.
A forma
A forma
com
e
é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso paralelo ao eixo
(porque o termo positivo é o de
). Portanto a equação representa uma hipérbole. Aqui:
Passo 6
Centro da hipérbole: é o ponto
que aparece na forma canônica
. Aqui
e
. Logo o centro é
Passo 7
Vértices: para essa forma com eixo transverso horizontal, os vértices estão em
. Substituindo:
Logo os vértices são
e
.
Passo 8
Focos: para hipérbole vale a relação
Calcular
:
Como o eixo principal é horizontal, os focos ficam em
. Assim:
Portanto os focos são
e
.
Passo 9
Assíntotas: para a hipérbole na forma
as assíntotas são as retas
Aqui
,
,
. Logo as equações das assíntotas são:
e
Simplificando em forma explícita:
Primeira: .
Segunda: .
Primeira:
Segunda:
Passo 10
Resumo rápido (orientação e parâmetros principais):
- A hipérbole está centrada em
, tem eixo transverso horizontal, semi-eixo maior , semi-eixo conjugado , e distância focal .
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Assíntotas: e
Vértices:
Focos:
Assíntotas: