Verifique se a equação 16 x^{2}-9 y^{2}-32 x-36 y-164=0 representa uma hipérbole. Em caso afirmativo, encontre os focos, vértices, centro e assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá a equação
16x^{2}-9y^{2}-32x-36y-164=0
e pede para verificar se ela representa uma hipérbole. Caso seja hipérbole, quer-se encontrar os focos, vértices, centro e assíntotas.
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: 16 em x^{2} e -9 em y^{2}.
  • Termos lineares: -32x e -36y.
  • Termo constante: -164.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a cônica completando quadrados para identificar o centro e a forma canônica. Vou agrupar termos em x e y:
16x^{2}-32x \quad\text{e}\quad -9y^{2}-36y.
Agora fatorar os coeficientes dos quadrados antes de completar quadrados:
16(x^{2}-2x) -9(y^{2}+4y) -164 = 0.

Passo 3

Completar o quadrado em cada parêntese. Lembrando: completar quadrado para x^{2}-2x é (x-1)^{2}-1, porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Para y^{2}+4y é (y+2)^{2}-4, porque (y+2)^{2}=y^{2}+4y+4. Substituindo:
16\big((x-1)^{2}-1\big) -9\big((y+2)^{2}-4\big) -164 = 0.
Distribuindo os coeficientes:
16(x-1)^{2}-16 -9(y+2)^{2}+36 -164 = 0.
Somando as constantes -16+36-164 = -144. Portanto:
16(x-1)^{2} -9(y+2)^{2} -144 = 0.

Passo 4

Isolar o termo constante e dividir para obter a forma padrão. Somando 144 em ambos os lados e dividindo por 144:
16(x-1)^{2} -9(y+2)^{2} = 144
\frac{16(x-1)^{2}}{144} - \frac{9(y+2)^{2}}{144} = 1.
Simplificando as frações: \dfrac{16}{144}=\dfrac{1}{9} e \dfrac{9}{144}=\dfrac{1}{16}. Assim obtemos a forma canônica
\frac{(x-1)^{2}}{9} - \frac{(y+2)^{2}}{16} = 1.

Passo 5

Interpretação da forma canônica e identificação do tipo de cônica.
A forma
\frac{(x-1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y+2)^{2}}{b^{2}} = 1
com a^{2}=9 e b^{2}=16 é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso paralelo ao eixo x (porque o termo positivo é o de (x-1)^{2}). Portanto a equação representa uma hipérbole. Aqui:
a^{2}=9\quad\Rightarrow\quad a=3,
b^{2}=16\quad\Rightarrow\quad b=4.

Passo 6

Centro da hipérbole: é o ponto (h,k) que aparece na forma canônica \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1. Aqui h=1 e k=-2. Logo o centro é
(1,-2).

Passo 7

Vértices: para essa forma com eixo transverso horizontal, os vértices estão em (h\pm a,\,k). Substituindo:
(h-a,k)=(1-3,-2)=(-2,-2),
(h+a,k)=(1+3,-2)=(4,-2).
Logo os vértices são (-2,-2) e (4,-2).

Passo 8

Focos: para hipérbole vale a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Calcular c:
c^{2}=9+16=25\quad\Rightarrow\quad c=5.
Como o eixo principal é horizontal, os focos ficam em (h\pm c,\,k). Assim:
(h-c,k)=(1-5,-2)=(-4,-2),
(h+c,k)=(1+5,-2)=(6,-2).
Portanto os focos são (-4,-2) e (6,-2).

Passo 9

Assíntotas: para a hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Aqui \dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{3}, h=1, k=-2. Logo as equações das assíntotas são:
y+2 = \frac{4}{3}(x-1)
e
y+2 = -\frac{4}{3}(x-1).
Simplificando em forma explícita:
Primeira: y = \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}.
Segunda: y = -\frac{4}{3}x - \frac{2}{3}.

Passo 10

Resumo rápido (orientação e parâmetros principais):
  • A hipérbole está centrada em (1,-2), tem eixo transverso horizontal, semi-eixo maior a=3, semi-eixo conjugado b=4, e distância focal c=5.

Resposta

Centro: (1,-2)
Vértices: (-2,-2) e (4,-2)
Focos: (-4,-2) e (6,-2)
Assíntotas: y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{10}{3} e y = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}

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