Determine o centro, os vértices, os focos, as assíntotas e o comprimento dos eixos das hipérboles de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das hipérboles.
(e) 4 x^{2}-y^{2}+8 x-2 y+3=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^{2}-y^{2}+8x-2y+3=0
e pede: centro, vértices, focos, assíntotas, comprimento dos eixos e um esboço. Vou listar as informações que já estão explícitas:
  • A equação é uma cônica quadrática geral em x,y.
  • Os coeficientes quadráticos são A=4 (para x^{2}), B=0 (coeficiente do termo misto xy) e C=-1 (para y^{2}).
  • O termo independente é 3 e há termos lineares 8x e -2y.
Observação importante que serve de pista: para uma hipérbole não degenerada tipicamente reescrevemos a equação em forma padrão (com um lado igual a 1). Aqui vamos verificar se isso é possível — pode acontecer da cônica ser degenerada (por exemplo, uma interseção de duas retas), caso em que vértices e focos reais não existem. A resolução começa com completar o quadrado para identificar centro e forma canônica.

Passo 2

Vamos completar o quadrado nos termos em x e em y. Agrupo termos:
4x^{2}+8x \;-\; y^{2}-2y \;+\;3=0.
Coloco os termos quadráticos com fator comum:
4\bigl(x^{2}+2x\bigr)\; -\; \bigl(y^{2}+2y\bigr)\;+\;3=0.
Agora completo o quadrado dentro dos parênteses. Lembrando: para completar o quadrado em x^{2}+2x adiciono e subtraio 1, porque (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1. O mesmo para y.
Escrevo:
4\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)\;-\;\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)\;+\;3=0.

Passo 3

Agora distribuo as constantes:
4(x+1)^{2}-4\;-\;(y+1)^{2}+1\;+\;3=0.
Somando as constantes -4+1+3 obtemos 0. Assim a equação fica simplesmente
4(x+1)^{2}-(y+1)^{2}=0.

Passo 4

A equação \,4(x+1)^{2}-(y+1)^{2}=0\, pode ser fatorada como diferença de quadrados. Escrevo 4(x+1)^{2}=[2(x+1)]^{2}, então
[2(x+1)]^{2}-(y+1)^{2}=0
que é
\bigl(2(x+1)-(y+1)\bigr)\bigl(2(x+1)+(y+1)\bigr)=0.
Isto é,
\bigl(2(x+1)-(y+1)\bigr)=0\quad\text{ou}\quad\bigl(2(x+1)+(y+1)\bigr)=0.
Reescrevendo em forma de reta:
y+1=2(x+1)\quad\text{e}\quad y+1=-2(x+1).

Passo 5

Interpretação geométrica imediata:
  • A cônica é, na verdade, o conjunto de pontos que satisfazem uma das duas retas acima. Ou seja, a equação original representa duas retas que se cruzam — é uma cônica degenerada (produto de duas retas).
  • O ponto de interseção dessas retas é o centro da cônica. Para encontrar interseção, faço 2(x+1)=(y+1) e -2(x+1)=(y+1) simultaneamente; mais direto, ambas passam por x=-1,y=-1. Portanto o centro é (-1,-1).

Passo 6

Sobre a classificação e os elementos da hipérbole:
  • Uma hipérbole não degenerada tem forma canônica com RHS igual a 1, por exemplo \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1. Aqui, ao completar o quadrado, o lado direito ficou 0; isso indica degenerescência para duas retas e não uma hipérbole propriamente dita.
  • Consequências práticas:
    • Vértices: em uma hipérbole não degenerada os vértices ficam a uma distância a do centro sobre o eixo transverso. No caso degenerado, não há um a>0 real que satisfaça a forma com RHS 1; portanto não há vértices reais distintos (poderíamos dizer que os vértices colapsaram no centro). Em termos claros: não existem vértices reais da hipérbole — a cônica não é uma hipérbole com vértices reais.
    • Focos: também não existem focos reais; os focos tornam-se complexos (imaginários) na degenerescência.
    • Assíntotas: para uma hipérbole padrão as assíntotas são as retas que a curva aproxima-se quando |x|\to\infty. Aqui as duas retas que obtivemos são precisamente as duas componentes da cônica. Assim, se a equação fosse de uma hipérbole não degenerada com os mesmos fatores quadráticos, essas seriam as assíntotas; na degenerada elas são a própria cônica.
    • Comprimento dos eixos: os comprimentos dos eixos transverso e conjugado são 2a e 2b para uma hipérbole não degenerada. Aqui a e b não são definidos como números reais positivos (colapsaram), logo os comprimentos dos eixos não se aplicam.

Passo 7

Vou explicitar tudo de forma direta e prática, do jeito que você vai poder usar na prova:
  • Centro: é o vértice da transformação que surgiu ao completar quadrado. Encontramos o termo (x+1) e (y+1), então o centro é \bigl(-1,-1\bigr).
  • Fatorando a expressão obtivemos as duas retas y+1=2(x+1)\quad\text{e}\quad y+1=-2(x+1).Estas são as duas componentes da cônica.
  • Como resultado: a cônica é degenerada (par de retas), então não existem vértices e focos reais e os comprimentos dos eixos (2a, 2b) não se aplicam.
  • Assíntotas: se a equação fosse uma hipérbole não degenerada com os mesmos termos quadráticos, as assíntotas seriam exatamente as retas acima. Assim, as retas listadas são as assíntotas formais da hipérbole associada — aqui elas coincidem com a cônica.

Passo 8

  1. Marque o centro \bigl(-1,-1\bigr).
  2. Desenhe as retas através do centro com inclinações 2 e -2: ou seja, passe uma reta com coeficiente angular 2 e outra com coeficiente angular -2 pelo ponto (-1,-1).
  3. Como a equação representa exatamente essas retas, o esboço consiste nessas duas retas cruzadas; não há ramo de hipérbole separado desta imagem (não há curvas que se aproximem dessas retas — as retas são a cônica).
  4. Se quiser visualizar a “hipérbole associada”, lembre que uma hipérbole não degenerada com assíntotas y+1=\pm 2(x+1) teria ramos entre/fora dessas assíntotas; mas neste problema específico a cônica é apenas as retas.

Resposta

Centro: (-1,-1)
Vértices: não existem vértices reais (a cônica é degenerada em par de retas)
Focos: não existem focos reais (são imaginários na degenerescência)
Assíntotas: y+1=2(x+1) e y+1=-2(x+1)
Comprimento dos eixos: não aplicável (não existem 2a e 2b reais para esta cônica; degenerada)

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