Determine o centro, os vértices, os focos, as assíntotas e o comprimento dos eixos das hipérboles de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das hipérboles.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede: centro, vértices, focos, assíntotas, comprimento dos eixos e um esboço. Vou listar as informações que já estão explícitas:
- A equação é uma cônica quadrática geral em
. - Os coeficientes quadráticos são
(para ), (coeficiente do termo misto ) e (para ). - O termo independente é
e há termos lineares e .
Observação importante que serve de pista: para uma hipérbole não degenerada tipicamente reescrevemos a equação em forma padrão (com um lado igual a
). Aqui vamos verificar se isso é possível — pode acontecer da cônica ser degenerada (por exemplo, uma interseção de duas retas), caso em que vértices e focos reais não existem. A resolução começa com completar o quadrado para identificar centro e forma canônica.
Passo 2
Vamos completar o quadrado nos termos em
e em
. Agrupo termos:
Coloco os termos quadráticos com fator comum:
Agora completo o quadrado dentro dos parênteses. Lembrando: para completar o quadrado em
adiciono e subtraio
, porque
. O mesmo para
.
Escrevo:
Passo 3
Agora distribuo as constantes:
Somando as constantes
obtemos
. Assim a equação fica simplesmente
Passo 4
A equação
pode ser fatorada como diferença de quadrados. Escrevo
, então
que é
Isto é,
Reescrevendo em forma de reta:
Passo 5
Interpretação geométrica imediata:
- A cônica é, na verdade, o conjunto de pontos que satisfazem uma das duas retas acima. Ou seja, a equação original representa duas retas que se cruzam — é uma cônica degenerada (produto de duas retas).
- O ponto de interseção dessas retas é o centro da cônica. Para encontrar interseção, faço
e simultaneamente; mais direto, ambas passam por . Portanto o centro é .
Passo 6
Sobre a classificação e os elementos da hipérbole:
- Uma hipérbole não degenerada tem forma canônica com RHS igual a
, por exemplo . Aqui, ao completar o quadrado, o lado direito ficou ; isso indica degenerescência para duas retas e não uma hipérbole propriamente dita. - Consequências práticas:
- Vértices: em uma hipérbole não degenerada os vértices ficam a uma distância
do centro sobre o eixo transverso. No caso degenerado, não há um real que satisfaça a forma com RHS ; portanto não há vértices reais distintos (poderíamos dizer que os vértices colapsaram no centro). Em termos claros: não existem vértices reais da hipérbole — a cônica não é uma hipérbole com vértices reais. - Focos: também não existem focos reais; os focos tornam-se complexos (imaginários) na degenerescência.
- Assíntotas: para uma hipérbole padrão as assíntotas são as retas que a curva aproxima-se quando
. Aqui as duas retas que obtivemos são precisamente as duas componentes da cônica. Assim, se a equação fosse de uma hipérbole não degenerada com os mesmos fatores quadráticos, essas seriam as assíntotas; na degenerada elas são a própria cônica. - Comprimento dos eixos: os comprimentos dos eixos transverso e conjugado são
e para uma hipérbole não degenerada. Aqui e não são definidos como números reais positivos (colapsaram), logo os comprimentos dos eixos não se aplicam.
- Vértices: em uma hipérbole não degenerada os vértices ficam a uma distância
Passo 7
Vou explicitar tudo de forma direta e prática, do jeito que você vai poder usar na prova:
- Centro: é o vértice da transformação que surgiu ao completar quadrado. Encontramos o termo
e , então o centro é . - Fatorando a expressão obtivemos as duas retas
Estas são as duas componentes da cônica. - Como resultado: a cônica é degenerada (par de retas), então não existem vértices e focos reais e os comprimentos dos eixos (2a, 2b) não se aplicam.
- Assíntotas: se a equação fosse uma hipérbole não degenerada com os mesmos termos quadráticos, as assíntotas seriam exatamente as retas acima. Assim, as retas listadas são as assíntotas formais da hipérbole associada — aqui elas coincidem com a cônica.
Passo 8
- Marque o centro
. - Desenhe as retas através do centro com inclinações
e : ou seja, passe uma reta com coeficiente angular e outra com coeficiente angular pelo ponto . - Como a equação representa exatamente essas retas, o esboço consiste nessas duas retas cruzadas; não há ramo de hipérbole separado desta imagem (não há curvas que se aproximem dessas retas — as retas são a cônica).
- Se quiser visualizar a “hipérbole associada”, lembre que uma hipérbole não degenerada com assíntotas
teria ramos entre/fora dessas assíntotas; mas neste problema específico a cônica é apenas as retas.
Resposta
Centro:
Vértices: não existem vértices reais (a cônica é degenerada em par de retas)
Focos: não existem focos reais (são imaginários na degenerescência)
Assíntotas: e
Comprimento dos eixos: não aplicável (não existem e
reais para esta cônica; degenerada)
Vértices: não existem vértices reais (a cônica é degenerada em par de retas)
Focos: não existem focos reais (são imaginários na degenerescência)
Assíntotas:
Comprimento dos eixos: não aplicável (não existem