Determine a equação da hipérbole cujos focos são os pontos
e
e a excentricidade é
, e faça seu esboço.
Passo 1
O enunciado dá os focos
e
e a excentricidade
.
Pede-se duas coisas: determinar a equação da hipérbole e fazer o esboço (um desenho simples indicando centro, vértices, focos e assíntotas).
Pede-se duas coisas: determinar a equação da hipérbole e fazer o esboço (um desenho simples indicando centro, vértices, focos e assíntotas).
Lista das informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Conceitos importantes (mini-aula rápida, sem pular passos):
- Para uma hipérbole com centro no ponto
e focos ao longo do eixo , a forma padrão é
onde:
-
é o semi-eixo transverso (distância do centro ao vértice sobre o eixo ); -
está relacionado à “abertura” vertical da hipérbole; -
é a distância do centro a cada foco; os focos estão em . - A excentricidade da hipérbole é definida por
com . - As quantidades
satisfazem a relação (para hipérbole horizontal) - Outra propriedade útil: para qualquer ponto
da hipérbole vale . Isso liga geometricamente aos focos.
Passo 3
Calcular o centro e
a partir dos focos dados.
- O centro
é o ponto médio entre os focos: . - A distância
do centro a cada foco é a abscissa dos focos (já centralizados):
Passo 4
Determinar
usando a definição da excentricidade
.
- Isolando
: - Substituindo
e :
Passo 5
Determinar
usando a relação
.
- Calcular
: - Logo
.
Passo 6
Escrever a equação padrão substituindo
e
.
- Como a hipérbole é centrada em
e é horizontal (focos sobre o eixo ), a equação é - Substituindo
e obtemos a equação final:
Passo 7
Determinar os elementos úteis para o esboço (o que desenhar e como):
- Centro:
. - Vértices:
. - Focos:
, (dados). - Assíntotas: para a hipérbole
as assíntotas são as retas
Substituindo
e
temos
- Observação geométrica prática para desenhar as assíntotas: trace o retângulo central com cantos em
e desenhe as diagonais desse retângulo; elas são as assíntotas.
Passo 8
Como verificar rapidamente que os valores fazem sentido (checagem com a propriedade de distância):
- Para o vértice
, as distâncias aos focos são e . A diferença é , que é . Isso confirma a coerência com a definição geométrica da hipérbole.
Passo 9
Como fazer o esboço passo a passo (para você desenhar à mão na prova):
- Marque o centro
. - Marque os vértices em
e . - Marque os focos em
e (mais afastados que os vértices). - Desenhe o retângulo com cantos
. - Trace as diagonais desse retângulo: são as assíntotas
. - Desenhe duas curvas (ramas) simétricas à esquerda e à direita que passam pelos vértices
e se aproximam das assíntotas quando .
Pronto — esse esboço mostra centro, vértices, focos e assíntotas, e deixa claro que a hipérbole abre para a esquerda e para a direita.
Resposta
Vértices