Determine a equação da hipérbole cujos focos são os pontos F_{1}=(-10,0) e F_{2}=(10,0) e a excentricidade é e=5 / 3, e faça seu esboço.

Passo 1

O enunciado dá os focos F_{1}=(-10,0) e F_{2}=(10,0) e a excentricidade e=\dfrac{5}{3}.
Pede-se duas coisas: determinar a equação da hipérbole e fazer o esboço (um desenho simples indicando centro, vértices, focos e assíntotas).
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • F_{1}=(-10,0)
  • F_{2}=(10,0)
  • e=\dfrac{5}{3}

Passo 2

Conceitos importantes (mini-aula rápida, sem pular passos):
  • Para uma hipérbole com centro no ponto O e focos ao longo do eixo x, a forma padrão é \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
onde:
  • a>0 é o semi-eixo transverso (distância do centro ao vértice sobre o eixo x);
  • b>0 está relacionado à “abertura” vertical da hipérbole;
  • c>0 é a distância do centro a cada foco; os focos estão em (\pm c,0).
  • A excentricidade da hipérbole é definida por e=\frac{c}{a}, com e>1.
  • As quantidades a,b,c satisfazem a relação (para hipérbole horizontal) c^{2}=a^{2}+b^{2}.
  • Outra propriedade útil: para qualquer ponto P da hipérbole vale |PF_{2}-PF_{1}|=2a. Isso liga geometricamente a aos focos.

Passo 3

Calcular o centro e c a partir dos focos dados.
  • O centro O é o ponto médio entre os focos: O=\big(\dfrac{-10+10}{2},\dfrac{0+0}{2}\big)=(0,0).
  • A distância c do centro a cada foco é a abscissa dos focos (já centralizados): c=10.

Passo 4

Determinar a usando a definição da excentricidade \,e=\dfrac{c}{a}.
  • Isolando a: a=\frac{c}{e}.
  • Substituindo c=10 e e=\dfrac{5}{3}: a=\frac{10}{5/3}=10\cdot\frac{3}{5}=6.

Passo 5

Determinar b usando a relação c^{2}=a^{2}+b^{2}.
  • Calcular b^{2}: b^{2}=c^{2}-a^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64.
  • Logo b=\sqrt{64}=8.

Passo 6

Escrever a equação padrão substituindo a^{2} e b^{2}.
  • Como a hipérbole é centrada em O=(0,0) e é horizontal (focos sobre o eixo x), a equação é \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Substituindo a^{2}=36 e b^{2}=64 obtemos a equação final: \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1.

Passo 7

Determinar os elementos úteis para o esboço (o que desenhar e como):
  • Centro: O=(0,0).
  • Vértices: (\pm a,0)=(\pm 6,0).
  • Focos: F_{1}=(-10,0), F_{2}=(10,0) (dados).
  • Assíntotas: para a hipérbole \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Substituindo b=8 e a=6 temos y=\pm\frac{8}{6}x=\pm\frac{4}{3}x.
  • Observação geométrica prática para desenhar as assíntotas: trace o retângulo central com cantos em (\pm a,\pm b)=(\pm6,\pm8) e desenhe as diagonais desse retângulo; elas são as assíntotas.

Passo 8

Como verificar rapidamente que os valores fazem sentido (checagem com a propriedade de distância):
  • Para o vértice V=(6,0), as distâncias aos focos são |VF_{2}|=|6-10|=4 e |VF_{1}|=|6-(-10)|=16. A diferença é 16-4=12, que é 2a=2\cdot6. Isso confirma a coerência com a definição geométrica da hipérbole.

Passo 9

Como fazer o esboço passo a passo (para você desenhar à mão na prova):
  1. Marque o centro O=(0,0).
  2. Marque os vértices em (6,0) e (-6,0).
  3. Marque os focos em (10,0) e (-10,0) (mais afastados que os vértices).
  4. Desenhe o retângulo com cantos (\pm6,\pm8).
  5. Trace as diagonais desse retângulo: são as assíntotas y=\pm\frac{4}{3}x.
  6. Desenhe duas curvas (ramas) simétricas à esquerda e à direita que passam pelos vértices (\pm6,0) e se aproximam das assíntotas quando x\to\pm\infty.
    Pronto — esse esboço mostra centro, vértices, focos e assíntotas, e deixa claro que a hipérbole abre para a esquerda e para a direita.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1
Vértices (\pm6,0), focos F_{1}=(-10,0),\\ F_{2}=(10,0) e assíntotas y=\pm\frac{4}{3}x.

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