Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(x+y)(x-y) d x+x(x-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+y)(x-y)\,dx + x(x - 2y)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Se for, encontrar a solução geral. Para testar exatidão, identificamos
M(x,y) = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2, \quad N(x,y) = x(x - 2y) = x^2 - 2xy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias ao teste de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 - y^2\bigr) = -2y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2 - 2xy\bigr) = 2x \;-\; 2y.

Passo 3

Comparamos as duas derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x - 2y.
Elas não são iguais em geral, portanto a equação dada não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata, logo não podemos resolvê-la diretamente por esse método.

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