Verifique se as equações abaixo representam uma parábola ou uma parábola degenerada. Caso seja uma parábola, determine seus principais elementos.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- Verificar se essa equação representa uma parábola ou uma parábola degenerada.
- Caso seja uma parábola, determinar os seus principais elementos (vértice, foco, diretriz, eixo, abertura, parâmetro focal, reta focal — latus rectum — e seus pontos extremos).
Informações importantes fornecidas:
- A equação explícita da curva é
.
Passo 2
Identificar o tipo de cônica: vou usar a forma geral de uma cônica de segunda ordem e um critério simples (não vou assumir que já sabes isso; explico agora).
Teoria curta e necessária (bem devagar):
- A forma geral de uma cônica é
. - Uma maneira rápida de classificar o tipo (parábola, elipse, hipérbole) é olhar para o discriminante
. - Se
, a cônica é uma parábola. - Se
, é elipse (ou círculo). - Se
, é hipérbole.
- Se
- Explicação do que significam
: são os coeficientes dos termos quadráticos em e . Não é necessário memorizar mais agora — basta saber aplicar.
Aplicando ao nosso caso:
- Aqui
(coeficiente de ), (não há termo ), (não há ). - Calcula-se o discriminante:
- Conclusão: como
, a curva é uma parábola (não uma elipse nem uma hipérbole).
Verificação de degenerescência (o que seria “parábola degenerada”?):
- Uma parábola degenerada, em termos geométricos, seria uma equação que representa um conjunto muito mais simples (por exemplo uma ou duas retas) em vez de uma curva de grau 2 com forma parabólica. Outra maneira prática é verificar se a equação se fatoriza em fatores lineares ou reduz a algo sem variável quadrática efetiva.
- No nosso caso podemos isolar
: Esta é claramente a equação de uma função quadrática em — ela descreve uma curva contínua com infinitos pontos, não um par de retas ou ponto isolado. - Portanto a parábola não é degenerada.
Passo 3
Colocar a parábola na forma canônica padrão e identificar o parâmetro focal.
Teoria curta:
- A forma canônica mais usada para parábolas com eixo vertical é
onde é o parâmetro focal: o foco está a distância do vértice, sobre o eixo, e a diretriz é a reta . A abertura (para cima ou para baixo) depende do sinal de : se abre para cima; se abre para baixo. - Relação com a forma
: escrevendo e comparando com obtemos , logo .
Aplicando ao nosso caso:
- A equação já isolada é
. - Compare com
. Reescrevendo a nossa: Logo e portanto - Conclusão: o parâmetro focal é
.
Passo 4
Determinar os elementos geométricos usando
.
Fórmulas e explicações:
- Vértice: para a forma
o vértice está na origem se não houver translação. Aqui não há termos lineares, então o vértice é . - Foco: está no ponto
(porque a parábola tem eixo vertical), então foco é . - Diretriz: é a reta
, ou seja . - Eixo de simetria: é a reta
(eixo neste caso). - Sentido de abertura: como
, a parábola abre para cima. - Latus rectum (reta focal): é o segmento perpendicular ao eixo que passa pelo foco; seus extremos são obtidos impondo
na equação: Para temos . Logo os extremos da latus rectum são os pontos e . - Comprimento da latus rectum: distância entre esses extremos, que vale
. Para isso dá . - Excentricidade: para parábola é sempre
.
Passo 5
Resumo e como lembrar na hora da prova (dicas práticas):
- Quando a equação puder ser escrita como
(ou, por simetria, ), identifica-se imediatamente e daí se obtém vértice, foco e diretriz com as fórmulas dadas. - Se aparecer na forma
, primeiro complete o quadrado ou escreva e compare com (ou use quando a forma for ).
Resposta
Parábola não degenerada.
Vértice: .
Foco: .
Diretriz: .
Eixo de simetria: .
Abertura: para cima.
Parâmetro focal: .
Latus rectum: extremos em e
; comprimento
.
Excentricidade: .
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo de simetria:
Abertura: para cima.
Parâmetro focal:
Latus rectum: extremos em
Excentricidade: