Verifique se as equações abaixo representam uma parábola ou uma parábola degenerada. Caso seja uma parábola, determine seus principais elementos.
x^{2}-8 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-8y=0
e pede duas coisas:
  • Verificar se essa equação representa uma parábola ou uma parábola degenerada.
  • Caso seja uma parábola, determinar os seus principais elementos (vértice, foco, diretriz, eixo, abertura, parâmetro focal, reta focal — latus rectum — e seus pontos extremos).
Informações importantes fornecidas:
  • A equação explícita da curva é \,x^{2}-8y=0.

Passo 2

Identificar o tipo de cônica: vou usar a forma geral de uma cônica de segunda ordem e um critério simples (não vou assumir que já sabes isso; explico agora).
Teoria curta e necessária (bem devagar):
  • A forma geral de uma cônica é \,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
  • Uma maneira rápida de classificar o tipo (parábola, elipse, hipérbole) é olhar para o discriminante \Delta=B^{2}-4AC.
    • Se \Delta=0, a cônica é uma parábola.
    • Se \Delta<0, é elipse (ou círculo).
    • Se \Delta>0, é hipérbole.
  • Explicação do que significam A,B,C: são os coeficientes dos termos quadráticos em x e y. Não é necessário memorizar mais agora — basta saber aplicar.
Aplicando ao nosso caso:
  • Aqui A=1 (coeficiente de x^{2}), B=0 (não há termo xy), C=0 (não há y^{2}).
  • Calcula-se o discriminante: \Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot1\cdot0 = 0.
  • Conclusão: como \Delta=0, a curva é uma parábola (não uma elipse nem uma hipérbole).
Verificação de degenerescência (o que seria “parábola degenerada”?):
  • Uma parábola degenerada, em termos geométricos, seria uma equação que representa um conjunto muito mais simples (por exemplo uma ou duas retas) em vez de uma curva de grau 2 com forma parabólica. Outra maneira prática é verificar se a equação se fatoriza em fatores lineares ou reduz a algo sem variável quadrática efetiva.
  • No nosso caso podemos isolar y: x^{2}-8y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y=\frac{1}{8}x^{2}.Esta é claramente a equação de uma função quadrática em x — ela descreve uma curva contínua com infinitos pontos, não um par de retas ou ponto isolado.
  • Portanto a parábola não é degenerada.

Passo 3

Colocar a parábola na forma canônica padrão e identificar o parâmetro focal.
Teoria curta:
  • A forma canônica mais usada para parábolas com eixo vertical é x^{2}=4p\,y,onde \,p é o parâmetro focal: o foco está a distância p do vértice, sobre o eixo, e a diretriz é a reta y=-p. A abertura (para cima ou para baixo) depende do sinal de p: se p>0 abre para cima; se p<0 abre para baixo.
  • Relação com a forma y=ax^{2}: escrevendo y=ax^{2} e comparando com x^{2}=4p\,y obtemos a=\dfrac{1}{4p}, logo p=\dfrac{1}{4a}.
Aplicando ao nosso caso:
  • A equação já isolada é \,y=\dfrac{1}{8}x^{2}.
  • Compare com \,x^{2}=4p\,y. Reescrevendo a nossa: x^{2}=8y.Logo 4p=8 e portanto p=2.
  • Conclusão: o parâmetro focal é \,p=2.

Passo 4

Determinar os elementos geométricos usando \,p=2.
Fórmulas e explicações:
  • Vértice: para a forma x^{2}=4p\,y o vértice está na origem (0,0) se não houver translação. Aqui não há termos lineares, então o vértice é (0,0).
  • Foco: está no ponto (0,p) (porque a parábola tem eixo vertical), então foco é (0,2).
  • Diretriz: é a reta y=-p, ou seja y=-2.
  • Eixo de simetria: é a reta x=0 (eixo y neste caso).
  • Sentido de abertura: como p>0, a parábola abre para cima.
  • Latus rectum (reta focal): é o segmento perpendicular ao eixo que passa pelo foco; seus extremos são obtidos impondo y=p na equação: x^{2}=4p\,y \quad\text{com}\; y=p \Rightarrow x^{2}=4p^{2} \Rightarrow x=\pm 2p.Para p=2 temos x=\pm 4. Logo os extremos da latus rectum são os pontos (4,2) e (-4,2).
  • Comprimento da latus rectum: distância entre esses extremos, que vale 2\cdot(2p)=4p. Para p=2 isso dá 4p=8.
  • Excentricidade: para parábola é sempre e=1.

Passo 5

Resumo e como lembrar na hora da prova (dicas práticas):
  • Quando a equação puder ser escrita como x^{2}=4p\,y (ou, por simetria, y^{2}=4p\,x), identifica-se imediatamente p e daí se obtém vértice, foco e diretriz com as fórmulas dadas.
  • Se aparecer na forma y=ax^{2}+bx+c, primeiro complete o quadrado ou escreva y=ax^{2}+\dots e compare com x^{2}=4p\,y (ou use p=1/(4a) quando a forma for y=ax^{2}).

Resposta

Parábola não degenerada.
Vértice: (0,0).
Foco: (0,2).
Diretriz: y=-2.
Eixo de simetria: x=0.
Abertura: para cima.
Parâmetro focal: p=2.
Latus rectum: extremos em (4,2) e (-4,2); comprimento 8.
Excentricidade: e=1.

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