Verifique se as equações abaixo representam uma parábola ou uma parábola degenerada. Caso seja uma parábola, determine seus principais elementos.
9 x^{2}+42 x+49=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
9x^{2}+42x+49=0
e pede para verificar se isso representa uma parábola ou uma parábola degenerada. Caso seja parábola, determinar seus principais elementos.
Informações relevantes:
  • A equação é um caso especial do polinômio geral de segundo grau em x, sem dependência de y.
  • Podemos interpretá-la como uma cônica da forma
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0
onde, neste caso, os coeficientes são A=9, B=0, C=0, D=42, E=0, F=49.

Passo 2

Breve aula: como classificar a cônica e detectar degeneração
  • Para classificar o tipo (parábola, elipse, hipérbole) costuma-se usar o discriminante da parte quadrática:
\Delta_{\text{quad}}=B^{2}-4AC.
Se \Delta_{\text{quad}}=0 a cônica é, em princípio, uma parábola (ou uma situação degenerada que “se parece” com parábola).
  • Para verificar se a cônica é degenerada (por exemplo, duas retas, reta dupla, ponto, vazio) verifica-se o determinante da matriz associada (matriz simétrica 3×3 construída com os coeficientes). Se esse determinante for zero, a cônica é degenerada.
Vou aplicar esses dois testes ao nosso caso.

Passo 3

Calcular o discriminante da parte quadrática:
A=9,\qquad B=0,\qquad C=0.
Logo
\Delta_{\text{quad}}=B^{2}-4AC=0^{2}-4\cdot 9\cdot 0=0.
Como \Delta_{\text{quad}}=0, isso indica que a conica pertence à família das parábolas ou a um caso degenerado associado a parábola. Não é conclusivo quanto à degeneração — preciso investigar mais.

Passo 4

Tentar fatorar ou completar o quadrado em x. Aqui é direto notar que a expressão é um quadrado perfeito:
9x^{2}+42x+49=(3x)^{2}+2\cdot(3x)\cdot 7+7^{2}=(3x+7)^{2}.
Portanto a equação fica
(3x+7)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x+7=0.
Isso significa que todos os pontos (x,y) que satisfazem a equação têm x=-\dfrac{7}{3}, com y qualquer. Geometricamente, o lugar geométrico é a reta vertical
x=-\dfrac{7}{3},
mas com multiplicidade 2 (é uma reta dupla), ou seja, duas retas coincidentes.

Passo 5

Confirmar degeneração pelo determinante da matriz 3×3 associada. A matriz é
M=\begin{pmatrix} A & B/2 & D/2\\[4pt] B/2 & C & E/2\\[4pt] D/2 & E/2 & F \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 21\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 21 & 0 & 49 \end{pmatrix},
onde usei D/2=42/2=21 e F=49. O determinante de M é zero, porque a segunda linha (e coluna) é nula:
\det M = 0.
Determinante zero confirma que a cônica é degenerada.]

Passo 6

Interpretação final didática e resposta aos pedidos do enunciado:
  • Embora \Delta_{\text{quad}}=0 sugira uma parábola, a fatoração mostra que a equação não descreve uma parábola usual com foco e diretriz; ela descreve uma reta vertical com multiplicidade 2. Isso é uma parábola degenerada (mais precisamente: duas retas coincidentes).
  • Como é caso degenerado (reta dupla), os elementos geométricos de uma parábola (vértice, eixo, foco, diretriz, parâmetro) não se aplicam de forma usual — não existe foco/diretriz bem definidos para essa configuração.

Resposta

Parábola degenerada: reta dupla x=-\dfrac{7}{3}.

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