Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
Passo 1
O enunciado pede: verificar se a equação diferencial é exata e, se for, resolver-la. A equação dada é
Reescrevendo na forma diferencial usual
, identificamos:
Objetivo imediato deste passo: ficar claro o que se pede e quais funções foram extraídas do enunciado.
Passo 2
O que significa “exata” e como verificar:
- Uma equação diferencial de primeira ordem escrita como
é exata se existir uma função potencial tal que - Uma condição prática, quando
e têm derivadas parciais contínuas, é verificar se
Se essa igualdade valer em uma região, a equação é exata ali. Se for exata, a solução geral é dada implicitamente por
, onde
é constante. Vou aplicar exatamente esse teste agora, mostrando cada conta passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias.
- Derivada parcial de
em relação a : (Aqui tratei como constante ao derivar em relação a .) - Derivada parcial de
em relação a :
Como
, a equação é exata (pelo critério).
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
.
Integro em relação a
, tratando
como constante:
Integro
Fazendo as integrais separadamente:
-
porque . -
.
Acrescenta-se uma função arbitrária de, , porque ao integrar em a “constante” de integração pode depender de . Assim:
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
Calculo :
Calculo
Igualo isso a
:
Daí segue que
. Integrando em
obtemos
, constante verdadeira (não depende de
nem
). Não precisamos de mais termos.
Passo 6
Escrever a solução geral implicíta.
Como é constante, a função potencial fica
Como
A solução geral da equação exata é dada por
. Renomeando a constante geral como
, obtemos a solução implícita:
Opcionalmente, pode-se fatorar:
Se for realmente necessário obter
explicitamente em função de
, trata-se de uma equação quadrática em
; para
e dado
a fórmula de Bhaskara fornece soluções (com cuidado com o sinal de
e domínio do discriminante). Mas, na maioria das provas, a forma implícita
é o que se pede.