Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a equação diferencial é exata e, se for, resolver-la. A equação dada é
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0.
Reescrevendo na forma diferencial usual M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, identificamos:
M(x,y)=2 x y^{2}+2 y, \qquad N(x,y)=2 x^{2} y+2 x.
Objetivo imediato deste passo: ficar claro o que se pede e quais funções foram extraídas do enunciado.

Passo 2

O que significa “exata” e como verificar:
  • Uma equação diferencial de primeira ordem escrita como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que \frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma condição prática, quando M e N têm derivadas parciais contínuas, é verificar se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade valer em uma região, a equação é exata ali. Se for exata, a solução geral é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C, onde C é constante. Vou aplicar exatamente esse teste agora, mostrando cada conta passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias.
  • Derivada parcial de M em relação a y: \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(2 x y^{2}+2 y\big) =2 x\cdot 2 y + 2 =4 x y + 2.(Aqui tratei x como constante ao derivar em relação a y.)
  • Derivada parcial de N em relação a x: \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\big(2 x^{2} y+2 x\big) =2\cdot 2 x\cdot y + 2 =4 x y + 2.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=4 x y+2, a equação é exata (pelo critério).

Passo 4

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x=M.
Integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(2 x y^{2}+2 y\big)\,dx.
Fazendo as integrais separadamente:
  • \int 2 x y^{2}\,dx = y^{2}\int 2x\,dx = y^{2}\,x^{2} porque \int 2x\,dx = x^{2}.
  • \int 2 y\,dx = 2 y \int 1\,dx = 2 y\,x.
    Acrescenta-se uma função arbitrária de y, H(y), porque ao integrar em x a “constante” de integração pode depender de y. Assim:
\Phi(x,y)=x^{2}y^{2}+2 x y + H(y).

Passo 5

Determinar H(y) usando a condição \partial \Phi/\partial y = N(x,y).
Calculo \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}+2 x y + H(y)\big) =2 x^{2} y + 2 x + H'(y).
Igualo isso a N(x,y)=2 x^{2} y+2 x:
2 x^{2} y + 2 x + H'(y)=2 x^{2} y+2 x.
Daí segue que H'(y)=0. Integrando em y obtemos H(y)=C_{0}, constante verdadeira (não depende de x nem y). Não precisamos de mais termos.

Passo 6

Escrever a solução geral implicíta.
Como H(y) é constante, a função potencial fica
\Phi(x,y)=x^{2}y^{2}+2 x y + C_{0}.
A solução geral da equação exata é dada por \Phi(x,y)=\text{constante}. Renomeando a constante geral como C, obtemos a solução implícita:
x^{2}y^{2}+2 x y = C.
Opcionalmente, pode-se fatorar:
x^{2}y^{2}+2 x y = x y\,(x y + 2)=C.
Se for realmente necessário obter y explicitamente em função de x, trata-se de uma equação quadrática em y; para x\neq 0 e dado C a fórmula de Bhaskara fornece soluções (com cuidado com o sinal de x e domínio do discriminante). Mas, na maioria das provas, a forma implícita \Phi(x,y)=C é o que se pede.

Resposta

x^{2}y^{2}+2 x y = C

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