Verifique se as equações abaixo são exatas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a equação diferencial
é exata; (2) resolver a equação caso seja exata.
As informações que temos (extraídas diretamente do enunciado) são as funções que multiplicam e
. Defino:
As informações que temos (extraídas diretamente do enunciado) são as funções que multiplicam
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre exatidão (sem jargões): uma equação na forma
é exata se houver uma função potencial
tal que
e
. Uma forma prática de testar isso é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Se essas duas derivadas forem iguais em uma região, a equação é exata nessa região.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais pedidas (mostrando cada termo):
Avalio termo a termo:
Logo
Agora
:
Avalio termo a termo:
Logo
Passo 4
Comparando:
Como são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe função
com
e
.
Passo 5
Agora vou encontrar a função potencial
. Como
, integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integração termo a termo (explicando cada integral):
Acrescento uma função arbitrária de
, chamada
, porque ao integrar em
qualquer função que dependa só de
desaparece da derivada parcial em
. Assim:
Passo 6
Determino
usando a condição
. Primeiro calculo
:
Avalio termo a termo:
Portanto
Como
deve ser igual a
, obtemos
Isso implica
Passo 7
Concluo que a função potencial (até constante aditiva) é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
. Assim a família de curvas solução é
onde
é constante arbitrária. (Opcional: poder-se-ia derivar implicitamente essa expressão para verificar que recupera
e
, o que seria um cheque de consistência.)