Verifique se as equações abaixo são exatas e resolva-as:
\left(y^{3}-y^{2} \sin x-x\right) d x+\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a equação diferencial
\left(y^{3}-y^{2}\sin x - x\right)\,dx + \left(3x y^{2} + 2y\cos x\right)\,dy = 0
é exata; (2) resolver a equação caso seja exata.
As informações que temos (extraídas diretamente do enunciado) são as funções que multiplicam dx e dy. Defino:
M(x,y)=y^{3}-y^{2}\sin x - x, \qquad N(x,y)=3x y^{2} + 2y\cos x.

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre exatidão (sem jargões): uma equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se houver uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N. Uma forma prática de testar isso é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Se essas duas derivadas forem iguais em uma região, a equação é exata nessa região.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais pedidas (mostrando cada termo):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\sin x\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\bigr).
Avalio termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\sin x\bigr)=2y\sin x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\bigr)=0.
Logo
\frac{\partial M}{\partial y}=3y^{2}-2y\sin x.
Agora \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\cos x\bigr).
Avalio termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y^{2}\bigr)=3y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\cos x\bigr)=2y\cdot(-\sin x)=-2y\sin x.
Logo
\frac{\partial N}{\partial x}=3y^{2}-2y\sin x.

Passo 4

Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=3y^{2}-2y\sin x \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=3y^{2}-2y\sin x.
Como são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe função \psi(x,y) com \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 5

Agora vou encontrar a função potencial \psi(x,y). Como \psi_x=M, integro M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int \bigl(y^{3}-y^{2}\sin x - x\bigr)\,dx.
Faço a integração termo a termo (explicando cada integral):
\int y^{3}\,dx = x y^{3},
\int -y^{2}\sin x\,dx = -y^{2}\int \sin x\,dx = -y^{2}(-\cos x)=y^{2}\cos x,
\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.
Acrescento uma função arbitrária de y, chamada H(y), porque ao integrar em x qualquer função que dependa só de y desaparece da derivada parcial em x. Assim:
\psi(x,y)=x y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} + H(y).

Passo 6

Determino H(y) usando a condição \psi_y=N. Primeiro calculo \psi_y:
\psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\cos x\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr) + H'(y).
Avalio termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{3}\bigr)=3x y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\cos x\bigr)=2y\cos x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)=0.
Portanto
\psi_y = 3x y^{2} + 2y\cos x + H'(y).
Como \psi_y deve ser igual a N(x,y)=3x y^{2} + 2y\cos x, obtemos
3x y^{2} + 2y\cos x + H'(y) = 3x y^{2} + 2y\cos x.
Isso implica
H'(y)=0\quad\Rightarrow\quad H(y)=\text{constante}.

Passo 7

Concluo que a função potencial (até constante aditiva) é
\psi(x,y)=x y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} + C.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por \psi(x,y)=\text{constante}. Assim a família de curvas solução é
x y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} = C,
onde C é constante arbitrária. (Opcional: poder-se-ia derivar implicitamente essa expressão para verificar que recupera M e N, o que seria um cheque de consistência.)

Resposta

x y^{3} + y^{2}\cos x - \dfrac{x^{2}}{2} = C

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