Verifique se as equações abaixo são exatas e resolva-as:
\left(e^{2 y}-y \cos x y\right) d x+\left(2 x e^{2 y}-x \cos x y+2 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial
\left(e^{2 y}-y \cos(xy)\right)\,dx+\left(2 x e^{2 y}-x \cos(xy)+2 y\right)\,dy=0
é exata e, se for, resolvê‑la (ou seja, encontrar a solução implícita geral).
Informações explícitas que temos (peguei do enunciado):
  • M(x,y)=e^{2y}-y\cos(xy) é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y é o coeficiente de dy.
    A tarefa: (1) testar a exatidão e (2) obter a função potencial \varphi(x,y) de forma que \phi_x=M e \phi_y=N, dando a solução \varphi(x,y)=C.

Passo 2

O que significa “exata” e como testamos: para uma equação da forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
dizemos que é exata num domínio simplesmente conexo se existe uma função \varphi(x,y) tal que
\phi_x(x,y)=M(x,y)\quad\text{e}\quad \phi_y(x,y)=N(x,y).
Um teste prático (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso ocorrer, a equação é exata. Vou calcular essas derivadas parciais passo a passo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}. Recordando a regra do produto e a regra da cadeia:
  • M(x,y)=e^{2y}-y\cos(xy).
  • Derivada de e^{2y} em relação a y é 2e^{2y}.
  • Para -y\cos(xy), usar produto: \dfrac{\partial}{\partial y}[-y\cos(xy)]= -1\cdot\cos(xy) + (-y)\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}[\cos(xy)].
  • E \dfrac{\partial}{\partial y}[\cos(xy)]= -\sin(xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)= -\sin(xy)\cdot x.
Portanto,
\frac{\partial M}{\partial y}=2e^{2y}-\cos(xy)+x y\sin(xy).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}. Novamente aplicando produto e cadeia:
  • N(x,y)=2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y.
  • Derivada de 2x e^{2y} em relação a x é 2 e^{2y} (pois e^{2y} é tratado como constante quando derivamos em x).
  • Para -x\cos(xy), usar produto: \dfrac{\partial}{\partial x}[-x\cos(xy)]= -1\cdot\cos(xy) + (-x)\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}[\cos(xy)].
  • E \dfrac{\partial}{\partial x}[\cos(xy)]= -\sin(xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)= -\sin(xy)\cdot y.
Logo
\frac{\partial N}{\partial x}=2e^{2y}-\cos(xy)+x y\sin(xy).

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais obtidas:
\frac{\partial M}{\partial y}=2e^{2y}-\cos(xy)+x y\sin(xy)
e
\frac{\partial N}{\partial x}=2e^{2y}-\cos(xy)+x y\sin(xy).
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} para todos (x,y) (num domínio onde as funções e derivadas são contínuas), a equação é exata.

Passo 6

Método para resolver uma equação exata: encontrar \varphi(x,y) tal que \phi_x=M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante, e depois determinamos a função “constante” de integração que depende só de y.
Integrar M em relação a x:
\varphi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(e^{2y}-y\cos(xy)\bigr)\,dx.
Como e^{2y} é constante relativo a x, \int e^{2y}\,dx = x e^{2y}.
Para \int -y\cos(xy)\,dx: com y constante, \int \cos(xy)\,dx = \frac{1}{y}\sin(xy) quando y\neq0; assim \int -y\cos(xy)\,dx = -y\cdot\frac{1}{y}\sin(xy) = -\sin(xy). (Essa expressão estende-se continuamente em y=0.)
Portanto, após integrar,
\varphi(x,y)=x e^{2y}-\sin(xy)+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração).

Passo 7

Determinar h(y) exigindo que \phi_y=N. Calcular \phi_y a partir da expressão encontrada:
  • Derivada de x e^{2y} em relação a y é 2x e^{2y}.
  • Derivada de -\sin(xy) em relação a y é -\cos(xy)\cdot x (regra da cadeia).
  • Derivada de h(y) é h'(y).
Logo
\phi_y=2x e^{2y}-x\cos(xy)+h'(y).
Igualando com N(x,y)=2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y, obtemos
h'(y)=2y.
Integrando em y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+C_0,
onde C_0 é constante (que podemos incorporar na constante final da solução).

Passo 8

Substituindo h(y) em \varphi, a função potencial é
\varphi(x,y)=x e^{2y}-\sin(xy)+y^{2}+C_0.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por \varphi(x,y)= constante. Eliminando C_0 e escrevendo a constante geral C, obtemos
x e^{2y}-\sin(xy)+y^{2}=C.

Resposta

x e^{2y}-\sin(xy)+y^{2}=C

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