Verifique se as equações abaixo são exatas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, resolvê‑la (ou seja, encontrar a solução implícita geral).
Informações explícitas que temos (peguei do enunciado):
Informações explícitas que temos (peguei do enunciado):
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
A tarefa: (1) testar a exatidão e (2) obter a função potencialde forma que e , dando a solução .
Passo 2
O que significa “exata” e como testamos: para uma equação da forma
dizemos que é exata num domínio simplesmente conexo se existe uma função
tal que
Um teste prático (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Se isso ocorrer, a equação é exata. Vou calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Recordando a regra do produto e a regra da cadeia:
-
. - Derivada de
em relação a é . - Para
, usar produto: . - E
.
Portanto,
Passo 4
Calcular
. Novamente aplicando produto e cadeia:
-
. - Derivada de
em relação a é (pois é tratado como constante quando derivamos em ). - Para
, usar produto: . - E
.
Logo
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais obtidas:
e
Como
para todos
(num domínio onde as funções e derivadas são contínuas), a equação é exata.
Passo 6
Método para resolver uma equação exata: encontrar
tal que
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante, e depois determinamos a função “constante” de integração que depende só de
.
Integrar
em relação a
:
Como
é constante relativo a
,
.
Para : com
constante,
quando
; assim
. (Essa expressão estende-se continuamente em
.)
Para
Portanto, após integrar,
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração).
Passo 7
Determinar
exigindo que
. Calcular
a partir da expressão encontrada:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (regra da cadeia). - Derivada de
é .
Logo
Igualando com
, obtemos
Integrando em
:
onde
é constante (que podemos incorporar na constante final da solução).
Passo 8
Substituindo
em
, a função potencial é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
constante. Eliminando
e escrevendo a constante geral
, obtemos