Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
\frac{d y}{d x}=\sin x\left(\cos 2 y-\cos ^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\sin x\bigl(\cos 2y-\cos^{2}y\bigr)
e pede que a coloquemos na forma de variáveis separáveis e a resolvamos, expressando a família de soluções explicitamente quando possível.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem, não linear.
  • A função do lado direito é produto de uma função de x ( \sin x) por uma função de y ( \cos 2y-\cos^{2}y).
  • O objetivo é obter y em função de x (ou uma relação implícita envolvendo x e y).

Passo 2

Simplificar a parte que depende só de y. Usar a identidade trigonométrica
\cos 2y = 2\cos^{2}y-1.
Substituindo em \cos 2y-\cos^{2}y dá:
\cos 2y-\cos^{2}y = (2\cos^{2}y-1)-\cos^{2}y = \cos^{2}y-1.
E como \cos^{2}y-1 = -\bigl(1-\cos^{2}y\bigr) = -\sin^{2}y, obtemos
\cos 2y-\cos^{2}y = -\sin^{2}y.

Passo 3

Substituindo essa simplificação na equação original resulta em
\frac{d y}{d x} = \sin x\bigl(-\sin^{2}y\bigr) = -\sin x\,\sin^{2}y.
Observe uma família óbvia de soluções constantes: se \sin y=0 então o lado direito é zero, logo y= constante satisfaz a equação. Assim, temos as soluções constantes
y = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
que devem ser listadas separadamente (elas correspondem a \sin y\equiv 0).

Passo 4

Para as soluções não constantes onde \sin y\neq 0 podemos separar variáveis. Escrevendo a equação como
\frac{d y}{d x} = -\sin x\,\sin^{2}y
e separando as variáveis obtemos
\frac{d y}{\sin^{2}y} = -\sin x\,dx.
Aqui usamos que a parte em y fica toda do lado esquerdo e a parte em x do lado direito: é a forma padrão de variáveis separáveis.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Primeiro reconhecer as primitivas:
  • \displaystyle\int \frac{d y}{\sin^{2}y}=\int \csc^{2}y\,dy. Como \dfrac{d}{dy}\cot y=-\csc^{2}y, segue que
\int \csc^{2}y\,dy = -\cot y + C.
  • \displaystyle\int -\sin x\,dx = \cos x + C, pois \int \sin x\,dx = -\cos x.
Portanto a integral dá
-\cot y = \cos x + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 6

Reescrever a constante de forma conveniente e isolar a relação implícita. Multiplicando por -1 ou renomeando constantes, uma forma simples é
\cot y + \cos x = C_1,
onde C_1\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Essa é a forma implícita geral das soluções (exceto as soluções constantes y=k\pi que não estão representadas aqui porque para elas \cot y é indefinido).

Passo 7

Expressões explícitas quando possível. A partir de
\cot y = C_1-\cos x
podemos escrever, quando conveniente,
\tan y = \frac{1}{C_1-\cos x},
desde que C_1-\cos x\neq 0. Assim uma expressão explícita para y é
y(x) = \arctan\!\biggl(\frac{1}{C_1-\cos x}\biggr) + n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z},
ou, alternativamente, usar a função arco-cotangente:
y(x) = \operatorname{arccot}\!\bigl(C_1-\cos x\bigr) + n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Ambas expressões refletem a periodicidade de período \pi das funções cot e tan (o termo +n\pi garante todas as folhas da família de soluções).

Passo 8

Resumo e observações finais práticas para a prova:
  • Soluções implícitas convenientes: \cot y + \cos x = C_1.
  • Soluções explícitas (quando C_1-\cos x\neq 0): y=\arctan\!\bigl(1/(C_1-\cos x)\bigr)+n\pi ou y=\operatorname{arccot}(C_1-\cos x)+n\pi.
  • Soluções constantes especiais: y=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Sempre mencionar as soluções constantes separadamente porque a separação dividiu por \sin^{2}y, o que exclui os pontos onde \sin y=0.

Resposta

\cot y+\cos x=C (constante arbitrária C), com as soluções constantes y=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.\n
Equivalente explícito: y(x)=\arctan\!\bigl(1/(C-\cos x)\bigr)+n\pi, n\in\mathbb{Z}, quando C-\cos x\neq0.

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