Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a coloquemos na forma de variáveis separáveis e a resolvamos, expressando a família de soluções explicitamente quando possível.
Informações relevantes do enunciado:
- A equação é de primeira ordem, não linear.
- A função do lado direito é produto de uma função de
( ) por uma função de ( ). - O objetivo é obter
em função de (ou uma relação implícita envolvendo e ).
Passo 2
Simplificar a parte que depende só de
. Usar a identidade trigonométrica
Substituindo em
dá:
E como
, obtemos
Passo 3
Substituindo essa simplificação na equação original resulta em
Observe uma família óbvia de soluções constantes: se
então o lado direito é zero, logo
constante satisfaz a equação. Assim, temos as soluções constantes
que devem ser listadas separadamente (elas correspondem a
).
Passo 4
Para as soluções não constantes onde
podemos separar variáveis. Escrevendo a equação como
e separando as variáveis obtemos
Aqui usamos que a parte em
fica toda do lado esquerdo e a parte em
do lado direito: é a forma padrão de variáveis separáveis.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Primeiro reconhecer as primitivas:
-
. Como , segue que
-
, pois .
Portanto a integral dá
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 6
Reescrever a constante de forma conveniente e isolar a relação implícita. Multiplicando por
ou renomeando constantes, uma forma simples é
onde
é constante arbitrária. Essa é a forma implícita geral das soluções (exceto as soluções constantes
que não estão representadas aqui porque para elas
é indefinido).
Passo 7
Expressões explícitas quando possível. A partir de
podemos escrever, quando conveniente,
desde que
. Assim uma expressão explícita para
é
ou, alternativamente, usar a função arco-cotangente:
Ambas expressões refletem a periodicidade de período
das funções cot e tan (o termo
garante todas as folhas da família de soluções).
Passo 8
Resumo e observações finais práticas para a prova:
- Soluções implícitas convenientes:
. - Soluções explícitas (quando
): ou . - Soluções constantes especiais:
, . - Sempre mencionar as soluções constantes separadamente porque a separação dividiu por
, o que exclui os pontos onde .
Resposta
Equivalente explícito: