Verifique quais as equações abaixo são lineares indicando, nesse caso, se são homogêneas ou não:
u_{x x}-u_{t t}=\operatorname{sen} u

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
u_{x x}-u_{t t}=\operatorname{sen} u
e pede para verificar se ela é linear e, se for linear, indicar se é homogênea ou não.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é a função u=u(x,t).
  • O lado esquerdo da equação é u_{x x}-u_{t t}.
  • O lado direito da equação é \operatorname{sen} u (função de u).

Passo 2

O que significa uma equação ser linear? Vou explicar devagar, passo a passo, como se estivéssemos juntos na prova.
  • Definição de operador linear: um operador diferencial L que age em funções é linear se, para quaisquer funções u e v e quaisquer constantes \alpha e \beta, vale
L(\alpha u+\beta v)=\alpha L(u)+\beta L(v).
Isto é a propriedade de superposição (ou linearidade).
  • Uma equação diferencial do tipo
L(u)=f(x,t)
é dita linear. É homogênea se o termo fonte f for identicamente zero, isto é, se
L(u)=0.
Se f\not\equiv 0 dizemos que a equação linear é não-homogênea.

Passo 3

Analisando o operador do lado esquerdo: defina
L(u):=u_{x x}-u_{t t}.
Vou verificar se L é linear usando a definição. Tome quaisquer funções u e v e constantes \alpha,\beta. Então
L(\alpha u+\beta v)=(\alpha u+\beta v)_{x x}-(\alpha u+\beta v)_{t t}.
Derivando termo a termo (propriedade usual de derivadas),
(\alpha u+\beta v)_{x x}=\alpha u_{x x}+\beta v_{x x}, \qquad (\alpha u+\beta v)_{t t}=\alpha u_{t t}+\beta v_{t t}.
Logo
L(\alpha u+\beta v)=\alpha(u_{x x}-u_{t t})+\beta(v_{x x}-v_{t t})=\alpha L(u)+\beta L(v).
Portanto o operador L(u)=u_{x x}-u_{t t} é linear. Ótimo — já que gostamos de identificar operadores lineares.

Passo 4

Mas atenção: uma equação é linear somente se a equação completa puder ser escrita como L(u)=f(x,t) onde f NÃO depende de u. No nosso caso a equação é
L(u)=\operatorname{sen} u.
Aqui o lado direito depende da própria função u: é \operatorname{sen} (u(x,t)). Isso quebra a linearidade. Uma forma direta de ver que isso impede superposição é raciocinar assim: se u_1 e u_2 fossem soluções, então por linearidade do operador teríamos
L(u_1+u_2)=L(u_1)+L(u_2)=\operatorname{sen} u_1+\operatorname{sen} u_2.
Mas para u_1+u_2 ser solução seria necessário também
L(u_1+u_2)=\operatorname{sen}(u_1+u_2).
Em geral não vale
\operatorname{sen}(u_1+u_2)=\operatorname{sen} u_1+\operatorname{sen} u_2,
pois \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b, que não coincide com \operatorname{sen} a+\operatorname{sen} b salvo casos muito especiais. Logo a propriedade de superposição falha e a equação é não linear.

Passo 5

Sobre “homogênea”: a palavra homogênea, no sentido técnico, aplica-se a equações lineares (quando o termo fonte é zero). Como a equação dada não é linear, dizer “homogênea” no sentido linear não se aplica diretamente. Se mesmo assim se perguntar se o lado direito é zero, a resposta é: o lado direito é \operatorname{sen} u, que em geral não é identicamente zero, então não corresponde a uma equação linear homogênea.

Resposta

A equação \,u_{x x}-u_{t t}=\operatorname{sen} u\, não é linear (é uma equação diferencial parcial não linear).
A noção de homogênea para equações lineares não se aplica; além disso, o termo do lado direito é \operatorname{sen} u (em geral não nulo), então não seria homogênea caso fosse linear.

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