Verifique quais as equações abaixo são lineares indicando, nesse caso, se são homogêneas ou não:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e pede para verificar se ela é linear e, se for linear, indicar se é homogênea ou não.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A incógnita é a função
. - O lado esquerdo da equação é
. - O lado direito da equação é
(função de ).
Passo 2
O que significa uma equação ser linear? Vou explicar devagar, passo a passo, como se estivéssemos juntos na prova.
- Definição de operador linear: um operador diferencial
que age em funções é linear se, para quaisquer funções e e quaisquer constantes e , vale
Isto é a propriedade de superposição (ou linearidade).
- Uma equação diferencial do tipo
é dita linear. É homogênea se o termo fonte
for identicamente zero, isto é, se
Se
dizemos que a equação linear é não-homogênea.
Passo 3
Analisando o operador do lado esquerdo: defina
Vou verificar se
é linear usando a definição. Tome quaisquer funções
e
e constantes
. Então
Derivando termo a termo (propriedade usual de derivadas),
Logo
Portanto o operador
é linear. Ótimo — já que gostamos de identificar operadores lineares.
Passo 4
Mas atenção: uma equação é linear somente se a equação completa puder ser escrita como
onde
NÃO depende de
. No nosso caso a equação é
Aqui o lado direito depende da própria função
: é
. Isso quebra a linearidade. Uma forma direta de ver que isso impede superposição é raciocinar assim: se
e
fossem soluções, então por linearidade do operador teríamos
Mas para
ser solução seria necessário também
Em geral não vale
pois
, que não coincide com
salvo casos muito especiais. Logo a propriedade de superposição falha e a equação é não linear.
Passo 5
Sobre “homogênea”: a palavra homogênea, no sentido técnico, aplica-se a equações lineares (quando o termo fonte é zero). Como a equação dada não é linear, dizer “homogênea” no sentido linear não se aplica diretamente. Se mesmo assim se perguntar se o lado direito é zero, a resposta é: o lado direito é
, que em geral não é identicamente zero, então não corresponde a uma equação linear homogênea.
Resposta
A equação
não é linear (é uma equação diferencial parcial não linear).
A noção de homogênea para equações lineares não se aplica; além disso, o termo do lado direito é (em geral não nulo), então não seria homogênea caso fosse linear.
A noção de homogênea para equações lineares não se aplica; além disso, o termo do lado direito é