Dê a ordem das EDP’s abaixo:
x^{3} \partial_{x} u-u^{3} \partial_{t} u+\partial_{x}^{2} u=x^{5}+t^{4}

Passo 1

O enunciado fornece a equação parcial
x^{3}\,\partial_{x}u - u^{3}\,\partial_{t}u + \partial_{x}^{2}u = x^{5}+t^{4}.
A pergunta é: qual é a ordem dessa equação diferencial parcial (EDP)?\n
Informações relevantes dadas:
  • Há derivadas parciais de u em relação a x e t.
  • Aparecem os termos \partial_{x}u, \partial_{t}u e \partial_{x}^{2}u.
  • Do lado direito há uma função de x e t: x^{5}+t^{4}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDP (explicação didática)?\n
  • A ordem de uma EDP é o maior número de derivadas (ordem) que aparece em qualquer termo da equação, em relação a qualquer variável independente.
  • Por exemplo: se a equação contém \partial_{x}^{2}u (segunda derivada em x) e apenas primeiras derivadas em t, a ordem da EDP é 2, porque o maior índice de derivada é 2.
  • Observação importante: multiplicar uma derivada por uma função (por exemplo u^{3}\,\partial_{t}u ou x^{3}\,\partial_{x}u) não aumenta a ordem — continua sendo a ordem da derivada que aparece. Não importa se a equação é linear ou não; a ordem é definida pelo maior número de diferenciações presentes.

Passo 3

Identificar e classificar as derivadas presentes na equação (passo a passo):\n
  • O termo x^{3}\,\partial_{x}u contém \partial_{x}u, que é a derivada parcial de primeira ordem de u em relação a x. Logo, ordem desse termo: 1.
  • O termo -u^{3}\,\partial_{t}u contém \partial_{t}u, que é a derivada parcial de primeira ordem de u em relação a t. Logo, ordem desse termo: 1.
  • O termo \partial_{x}^{2}u é a derivada parcial de segunda ordem de u em relação a x. Logo, ordem desse termo: 2.
  • Do lado direito, x^{5}+t^{4} não contém derivadas de u, então não contribui para a ordem da EDP.

Passo 4

Determinar a ordem da EDP:\n
  • Entre as ordens encontradas (1, 1 e 2), a maior é 2. Portanto a ordem da equação é 2.\n
  • Comentário final e incentivo: mesmo sendo não linear (por causa de u^{3}\,\partial_{t}u), isso não muda a ordem. Então, foco na prova: ao ler uma EDP, procure o maior expoente de derivada parcial que aparece — é isso que define a ordem.

Resposta

\text{segunda ordem}

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