Verifique se as equações abaixo são lineares. Justifique.
e^{x}-2 y=4

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique se a equação abaixo é linear e que eu justifique:
e^{x}-2y=4.
Informações dadas:
  • A equação envolve as variáveis \,x e \,y.
  • Há um termo exponencial \,e^{x}.
    A pergunta a responder é: a equação é linear? (justificar).

Passo 2

O que significa uma equação ser linear (explicação didática)?
  • Uma equação em duas variáveis \,x e \,y é dita linear se puder ser escrita na forma
ax+by+c=0,
onde a, b e c são números constantes e x e y aparecem apenas na primeira potência (não aparecem multiplicados entre si, nem dentro de funções não lineares como e^{(\cdot)}, \sin(\cdot), potências diferentes de 1, etc.).
  • Em linguagem simples: uma equação é linear quando é uma combinação linear (mais uma constante) das variáveis, sem funções não-lineares das variáveis.

Passo 3

Aplicando a definição à equação dada: observar o termo \,e^{x}.
  • O termo \,e^{x} não é da forma a x (um coeficiente constante multiplicando \,x). Em vez disso, é uma função exponencial de \,x.
  • Como há uma função não-linear de \,x (ou seja, \,e^{x}), a equação não pode ser escrita na forma ax+by+c=0 com a,b,c constantes. Portanto ela NÃO é linear em relação às variáveis \,x e \,y simultaneamente.

Passo 4

Uma reescrita útil para intuir melhor:
-2y=4-e^{x}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{e^{x}-4}{2}.
  • Veja que y é uma função de \,x que contém \,e^{x}. Gráfica e analiticamente, isso é uma curva exponencial (não uma reta). Uma função linear de \,x teria forma y=mx+b com m,b constantes — aqui não é o caso.
  • Outra verificação rápida: derivando em relação a \,x obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{2},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{e^{x}}{2}\neq 0,
o que mostra que y(x) não é função afim (reta), pois a segunda derivada de uma função linear seria 0.

Passo 5

Observação útil e frequentemente pedida em provas (covida à clareza):
  • A equação NÃO é linear em \,x e \,y juntos por causa de \,e^{x}.
  • Contudo, se alguém perguntar se é linear em relação a \,y exclusivamente, a resposta é: sim — a equação é linear em \,y (pois y aparece apenas na primeira potência com coeficiente constante -2); isto é, para cada x fixo trata-se de uma equação linear em y.

Resposta

Não — a equação não é linear (em x e y) porque contém o termo não linear \,e^{x}.
(Observação: ela é linear em y isoladamente, pois y aparece apenas na primeira potência.)

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