Verifique se as equações abaixo são lineares. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique se a equação abaixo é linear e que eu justifique:
Informações dadas:
- A equação envolve as variáveis
e . - Há um termo exponencial
.
A pergunta a responder é: a equação é linear? (justificar).
Passo 2
O que significa uma equação ser linear (explicação didática)?
- Uma equação em duas variáveis
e é dita linear se puder ser escrita na forma
onde
,
e
são números constantes e
e
aparecem apenas na primeira potência (não aparecem multiplicados entre si, nem dentro de funções não lineares como
,
, potências diferentes de 1, etc.).
- Em linguagem simples: uma equação é linear quando é uma combinação linear (mais uma constante) das variáveis, sem funções não-lineares das variáveis.
Passo 3
Aplicando a definição à equação dada: observar o termo
.
- O termo
não é da forma (um coeficiente constante multiplicando ). Em vez disso, é uma função exponencial de . - Como há uma função não-linear de
(ou seja, ), a equação não pode ser escrita na forma com constantes. Portanto ela NÃO é linear em relação às variáveis e simultaneamente.
Passo 4
Uma reescrita útil para intuir melhor:
- Veja que
é uma função de que contém . Gráfica e analiticamente, isso é uma curva exponencial (não uma reta). Uma função linear de teria forma com constantes — aqui não é o caso. - Outra verificação rápida: derivando em relação a
obtemos
o que mostra que
não é função afim (reta), pois a segunda derivada de uma função linear seria
.
Passo 5
Observação útil e frequentemente pedida em provas (covida à clareza):
- A equação NÃO é linear em
e juntos por causa de . - Contudo, se alguém perguntar se é linear em relação a
exclusivamente, a resposta é: sim — a equação é linear em (pois aparece apenas na primeira potência com coeficiente constante ); isto é, para cada fixo trata-se de uma equação linear em .
Resposta
Não — a equação não é linear (em
e
) porque contém o termo não linear
.
(Observação: ela é linear em isoladamente, pois
aparece apenas na primeira potência.)
(Observação: ela é linear em