Verifique se as equações abaixo são lineares. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação dada é linear e justificar a resposta. A equação fornecida é:
Informações relevantes que temos:
- As incógnitas (variáveis) são
, e . - A equação contém os termos
e . - A pergunta é direta: “é linear?” e pede justificativa.
Passo 2
O que significa “equação linear” (explicação didática, passo a passo).
- Uma equação em três variáveis
, , é linear quando pode ser escrita na forma
onde
,
,
e
são constantes (números que não dependem de
).
- Características importantes dessa forma:
- Cada variável aparece apenas elevada à primeira potência (ou seja, não há
, , etc.). - Não aparecem produtos entre variáveis (por exemplo, não pode ter
, , ). - Coeficientes das variáveis são constantes — não podem ser outras incógnitas.
- Cada variável aparece apenas elevada à primeira potência (ou seja, não há
- Intuição geométrica rápida: em três variáveis uma equação linear representa um plano no espaço
. Se houver produto de variáveis, a superfície geralmente é curvada, não um plano.
Passo 3
Analisando a equação dada termo a termo.
- A equação é
- Note o termo
: é um produto entre duas incógnitas, e . Esse produto viola a condição (2) da definição de linearidade (não permitir produtos entre variáveis). - Tentar reorganizar para ver se pode caber na forma linear: isolando
,
Aqui a “dependência” de
em relação a
e
envolve o produto
. Não é possível escrever isso como
com
constantes, porque para colocar
com coeficiente constante teríamos de ter algo como
, mas o que aparece é
, cujo coeficiente de
é
(uma variável), não uma constante.
Passo 4
Exemplos e reforço para fixar a ideia (pequenos exemplos concretos).
- Exemplo linear:
cada coeficiente (
) é constante; é linear.
- Exemplo não linear (similar ao nosso):
o termo
mistura as duas incógnitas; isso torna a equação não linear.
- Observação prática: se alguém fixar
como um número (por exemplo ), então para esse caso particular a equação vira , que é linear em . Mas a linearidade que a definição exige é global: os coeficientes não podem depender das variáveis. Como para diferentes valores de o coeficiente de muda, a equação não é linear em considerada conjuntamente.
Passo 5
Conclusão lógica e justificativa curta.
- A presença do termo
(produto de duas variáveis) impede que a equação seja escrita na forma com constantes. - Portanto a equação não satisfaz a definição de equação linear nas variáveis
.
Resposta
Não — a equação
não é linear, pois contém o termo
, produto de duas variáveis.