Verifique se as equações abaixo são lineares. Justifique.
x y+z=2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação dada é linear e justificar a resposta. A equação fornecida é:
x y + z = 2.
Informações relevantes que temos:
  • As incógnitas (variáveis) são x, y e z.
  • A equação contém os termos x y e z.
  • A pergunta é direta: “é linear?” e pede justificativa.

Passo 2

O que significa “equação linear” (explicação didática, passo a passo).
  • Uma equação em três variáveis x, y, z é linear quando pode ser escrita na forma
a\,x + b\,y + c\,z = d,
onde a, b, c e d são constantes (números que não dependem de x,y,z).
  • Características importantes dessa forma:
    1. Cada variável aparece apenas elevada à primeira potência (ou seja, não há x^2, y^3, etc.).
    2. Não aparecem produtos entre variáveis (por exemplo, não pode ter x y, x z, y z).
    3. Coeficientes das variáveis são constantes — não podem ser outras incógnitas.
  • Intuição geométrica rápida: em três variáveis uma equação linear representa um plano no espaço (x,y,z). Se houver produto de variáveis, a superfície geralmente é curvada, não um plano.

Passo 3

Analisando a equação dada termo a termo.
  • A equação é
x y + z = 2.
  • Note o termo \,x y\,: é um produto entre duas incógnitas, x e y. Esse produto viola a condição (2) da definição de linearidade (não permitir produtos entre variáveis).
  • Tentar reorganizar para ver se pode caber na forma linear: isolando z,
z = 2 - x y.
Aqui a “dependência” de z em relação a x e y envolve o produto x y. Não é possível escrever isso como a x + b y + c z = d com a,b,c constantes, porque para colocar x com coeficiente constante teríamos de ter algo como (\text{constante})\cdot x, mas o que aparece é y\cdot x, cujo coeficiente de x é y (uma variável), não uma constante.

Passo 4

Exemplos e reforço para fixar a ideia (pequenos exemplos concretos).
  • Exemplo linear: 2x + 3y + z = 5
cada coeficiente ( 2,3,1) é constante; é linear.
  • Exemplo não linear (similar ao nosso): x y + z = 2
o termo x y mistura as duas incógnitas; isso torna a equação não linear.
  • Observação prática: se alguém fixar y como um número (por exemplo y=2), então para esse caso particular a equação vira 2x+z=2, que é linear em x,z. Mas a linearidade que a definição exige é global: os coeficientes não podem depender das variáveis. Como para diferentes valores de y o coeficiente de x muda, a equação não é linear em x,y,z considerada conjuntamente.

Passo 5

Conclusão lógica e justificativa curta.
  • A presença do termo \,x y\, (produto de duas variáveis) impede que a equação seja escrita na forma \,a x + b y + c z = d\, com a,b,c,d constantes.
  • Portanto a equação não satisfaz a definição de equação linear nas variáveis x,y,z.

Resposta

Não — a equação x y + z = 2 não é linear, pois contém o termo x y, produto de duas variáveis.

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