Integrar as seguintes equações diferenciais:
(x^{2}+11 x y+9 y^{2}) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial e pede que a integremos (isto é, que encontremos a solução geral):
(x^{2}+11 x y+9 y^{2})\,dx - x^{2}\,dy = 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y função de x.
  • A equação é de primeira ordem e pode ser escrita na forma diferencial padrão envolvendo dy/dx.
  • O objetivo é obter a solução geral y(x) (ou uma solução implícita) contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\dots para identificar a estrutura:
(x^{2}+11 x y+9 y^{2})\,dx - x^{2}\,dy = 0
é equivalente a
x^{2}\,dy = (x^{2}+11 x y+9 y^{2})\,dx.
Dividindo por dx e por x^{2} (assumindo x\neq0):
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+11 x y+9 y^{2}}{x^{2}}.
Simplificando os termos:
\frac{dy}{dx} = 1 + 11\frac{y}{x} + 9\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.

Passo 3

Observação útil para escolher o método: a função do lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso indica que a equação é homogênea no sentido que pode ser reduzida pela substituição
v=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=vx.
Explicando a ideia: quando \dfrac{dy}{dx} pode ser escrito como uma função de \dfrac{y}{x}, a substituição y=vx transforma a equação de primeira ordem em uma equação separável em v e x.

Passo 4

Calcular dy/dx em termos de v e dv/dx:
y=vx \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituir na equação obtida em Passo 2:
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + 11v + 9v^{2}.
Isolar o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = 1 + 11v + 9v^{2} - v = 1 + 10v + 9v^{2}.
Então
\frac{dv}{dx} = \frac{1 + 10v + 9v^{2}}{x}.

Passo 5

Separar variáveis para integrar:
\frac{dv}{1 + 10v + 9v^{2}} = \frac{dx}{x}.
Antes de integrar, fatorar o polinômio quadrático do denominador:
1 + 10v + 9v^{2} = 9v^{2} + 10v + 1 = (9v+1)(v+1).
Portanto precisamos integrar
\int \frac{dv}{(9v+1)(v+1)} = \int \frac{dx}{x}.

Passo 6

Fazer decomposição em frações parciais:
Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{(9v+1)(v+1)} = \frac{A}{9v+1} + \frac{B}{v+1}.
Multiplicando ambos os lados por (9v+1)(v+1):
1 = A(v+1) + B(9v+1).
Escolhendo valores convenientes de v:
  • Para v=-1: 1 = B(9(-1)+1)=B(-8) então B=-\dfrac{1}{8}.
  • Para v=-\dfrac{1}{9}: 1 = A\bigl(-\dfrac{1}{9}+1\bigr)=A\cdot\dfrac{8}{9} então A=\dfrac{9}{8}.
Assim
\frac{1}{(9v+1)(v+1)} = \frac{9/8}{9v+1} - \frac{1/8}{v+1}.

Passo 7

Integrar ambos os lados usando a decomposição:
\int\left(\frac{9/8}{9v+1} - \frac{1/8}{v+1}\right)\,dv = \int \frac{dx}{x}.
Calcular as integrais do lado esquerdo (lembrando que \int \dfrac{1}{a v + b}\,dv = \dfrac{1}{a}\ln|a v + b|):
\int \frac{9/8}{9v+1}\,dv = \frac{9}{8}\cdot\frac{1}{9}\ln|9v+1| = \frac{1}{8}\ln|9v+1|,
\int -\frac{1/8}{v+1}\,dv = -\frac{1}{8}\ln|v+1|.
Somando:
\frac{1}{8}\ln|9v+1| - \frac{1}{8}\ln|v+1| = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração.
Multiplicando por 8:
\ln\left|\frac{9v+1}{v+1}\right| = 8\ln|x| + C_{1},
com C_{1}=8C. Exponenciando:
\left|\frac{9v+1}{v+1}\right| = C x^{8},
onde C>0 é nova constante arbitrária (sinal absorvido em C). Assim:
\frac{9v+1}{v+1} = C x^{8}.

Passo 8

Voltar à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{9\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+1} = \frac{9y+x}{y+x} = C x^{8}.
Esta é a forma implícita da solução geral. Se desejar isolar y explicitamente em função de x e da constante C, multiplicar ambos os lados por y+x e reorganizar:
9y + x = C x^{8}(y + x).
Agrupando os termos em y:
9y - C x^{8} y = C x^{9} - x,
y(9 - C x^{8}) = x(C x^{8} - 1).
Logo, desde que 9 - C x^{8}\neq 0,
y = x\,\frac{C x^{8} - 1}{9 - C x^{8}}.

Passo 9

Resumo e observações finais:
  • A solução geral pode ser dada de forma implícita como
\frac{9y + x}{y + x} = C x^{8},
com C constante arbitrária.
  • Ou explicitamente (quando o denominador for não nulo):
y = x\,\frac{C x^{8} - 1}{9 - C x^{8}}.
  • Lembrete prático para a prova: sempre verifique se a equação é homogênea (depende de y/x); nesse caso a substituição y=vx costuma transformar em equação separável, e depois vem a rotina de frações parciais e integração.

Resposta

\displaystyle \frac{9y + x}{y + x} = C x^{8}
ou, isolando y:
\displaystyle y = x\,\frac{C x^{8} - 1}{9 - C x^{8}}, com C constante arbitrária.

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