Observação útil para escolher o método: a função do lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso indica que a equação é homogênea no sentido que pode ser reduzida pela substituição
v=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=vx.
Explicando a ideia: quando \dfrac{dy}{dx} pode ser escrito como uma função de \dfrac{y}{x}, a substituição y=vx transforma a equação de primeira ordem em uma equação separável em v e x.
onde C>0 é nova constante arbitrária (sinal absorvido em C). Assim:
\frac{9v+1}{v+1} = C x^{8}.
Passo 8
Voltar à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{9\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+1} = \frac{9y+x}{y+x} = C x^{8}.
Esta é a forma implícita da solução geral. Se desejar isolar y explicitamente em função de x e da constante C, multiplicar ambos os lados por y+x e reorganizar:
9y + x = C x^{8}(y + x).
Agrupando os termos em y:
9y - C x^{8} y = C x^{9} - x,
y(9 - C x^{8}) = x(C x^{8} - 1).
Logo, desde que 9 - C x^{8}\neq 0,
y = x\,\frac{C x^{8} - 1}{9 - C x^{8}}.
Passo 9
Resumo e observações finais:
A solução geral pode ser dada de forma implícita como
\frac{9y + x}{y + x} = C x^{8},
com C constante arbitrária.
Ou explicitamente (quando o denominador for não nulo):
y = x\,\frac{C x^{8} - 1}{9 - C x^{8}}.
Lembrete prático para a prova: sempre verifique se a equação é homogênea (depende de y/x); nesse caso a substituição y=vx costuma transformar em equação separável, e depois vem a rotina de frações parciais e integração.
Resposta
\displaystyle \frac{9y + x}{y + x} = C x^{8}
ou, isolando y:
\displaystyle y = x\,\frac{C x^{8} - 1}{9 - C x^{8}}, com C constante arbitrária.