Verifique se as equações abaixo são lineares. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede que verifique se a equação abaixo é linear e que justifique:
Informações dadas:
- As incógnitas são
e . - Os coeficientes aparentes são
(multiplicando ) e (multiplicando ). - O termo do lado direito é
(tratar como constante conhecida).
Passo 2
O que é uma equação linear (explicação didática)?
- Dizemos que uma equação em
é linear se pode ser escrita na forma
onde
,
e
são constantes (números fixos), e as incógnitas aparecem apenas com expoente
(não aparecem produtos entre incógnitas, nem funções não-lineares das incógnitas, nem potências diferentes de
).
- Em outras palavras: linearidade significa “cada incógnita aparece multiplicada por uma constante e somada” — nada de
, , etc.
Passo 3
Avaliar o coeficiente
(passo técnico):
- Sabemos da trigonometria que
para qualquer inteiro . Em particular,
Passo 4
Reescrever a equação usando
:
Simplificando o produto
,
Passo 5
Verificação e comentário didático:
- A equação chegou à forma
, que é um caso particular da forma geral com , e . - As incógnitas aparecem com expoente
e não há produtos ou funções das incógnitas; portanto a equação é linear. - Observação útil: o fato de o coeficiente de
ser zero torna ausente na equação (equação degenerada em relação a ), mas isso não a torna não-linear — continua sendo uma equação linear em .
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a diferença:
- Se a equação fosse
, aí seria não-linear porque a função atua sobre a incógnita . - No caso dado,
é só um número (igual a zero), não uma função de .
Resposta
Sim. É linear; a equação reduz-se a
, portanto é da forma
com
,
,
.