Verifique se as equações abaixo são lineares. Justifique.
(\sin \pi) X_{1}-4 X_{2} =e

Passo 1

O enunciado pede que verifique se a equação abaixo é linear e que justifique:
(\sin \pi) X_{1}-4 X_{2} = e
Informações dadas:
  • As incógnitas são X_{1} e X_{2}.
  • Os coeficientes aparentes são \sin \pi (multiplicando X_{1}) e -4 (multiplicando X_{2}).
  • O termo do lado direito é e (tratar como constante conhecida).

Passo 2

O que é uma equação linear (explicação didática)?
  • Dizemos que uma equação em X_{1},X_{2} é linear se pode ser escrita na forma
a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}=b,
onde a_{1}, a_{2} e b são constantes (números fixos), e as incógnitas aparecem apenas com expoente 1 (não aparecem produtos entre incógnitas, nem funções não-lineares das incógnitas, nem potências diferentes de 1).
  • Em outras palavras: linearidade significa “cada incógnita aparece multiplicada por uma constante e somada” — nada de X_{1}^2, X_{1}X_{2}, \sin(X_{1}) etc.

Passo 3

Avaliar o coeficiente \sin \pi (passo técnico):
  • Sabemos da trigonometria que \sin(k\pi)=0 para qualquer inteiro k. Em particular,
\sin \pi = 0.

Passo 4

Reescrever a equação usando \sin \pi=0:
0\cdot X_{1}-4X_{2}=e.
Simplificando o produto 0\cdot X_{1},
-4X_{2}=e.

Passo 5

Verificação e comentário didático:
  • A equação chegou à forma -4X_{2}=e, que é um caso particular da forma geral a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}=b com a_{1}=0, a_{2}=-4 e b=e.
  • As incógnitas aparecem com expoente 1 e não há produtos ou funções das incógnitas; portanto a equação é linear.
  • Observação útil: o fato de o coeficiente de X_{1} ser zero torna X_{1} ausente na equação (equação degenerada em relação a X_{1}), mas isso não a torna não-linear — continua sendo uma equação linear em X_{1},X_{2}.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a diferença:
  • Se a equação fosse \sin(X_{1})-4X_{2}=e, aí seria não-linear porque a função \sin atua sobre a incógnita X_{1}.
  • No caso dado, \sin \pi é só um número (igual a zero), não uma função de X_{1}.

Resposta

Sim. É linear; a equação reduz-se a -4X_{2}=e, portanto é da forma a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}=b com a_{1}=0, a_{2}=-4, b=e.

Exercícios relacionados