Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolvaas.
(d)
\frac{2 y\left(1+x^{{2}}\right)}{1+2 x^{{2}}} y^{\prime}-\frac{2 x y^{{2}}}{\left(1+2 x^{{2}}\right)^{{2}}}=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
\frac{2\,y\,(1+x^{2})}{1+2x^{2}}\;y' \;-\;\frac{2\,x\,y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}} \;=\;1
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo é Equações Diferenciais Exatas. Para isso vamos reescrever no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
verificar a condição \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, se exata, obter uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial em forma de diferencial total, multiplicamos ambos os lados por dx e trazemos tudo para o lado esquerdo:
2\,y\frac{1+x^{2}}{1+2x^{2}}\,dy \;-\;\frac{2\,x\,y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}}\,dx \;-\;dx = 0.
Logo definimos
M(x,y) = -\frac{2\,x\,y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}}\;-\;1, \quad N(x,y) = 2\,y\,\frac{1+x^{2}}{1+2x^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2x\,y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}}\Bigr) = -\frac{4\,x\,y}{(1+2x^{2})^{2}},
\frac{\partial N}{\partial x} = 2\,y\;\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1+x^{2}}{1+2x^{2}}\Bigr) = 2\,y\;\frac{-2x}{(1+2x^{2})^{2}} = -\frac{4\,x\,y}{(1+2x^{2})^{2}}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos F(x,y) tal que \partial F/\partial x = M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\int M\,dx = \int\Bigl(-\frac{2\,x\,y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}} - 1\Bigr)dx = \frac{y^{2}}{2(1+2x^{2})} - x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora impomos \partial F/\partial y = N. Da expressão acima,
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y^{2}}{2(1+2x^{2})}\Bigr) + h'(y) = \frac{y}{1+2x^{2}} + h'(y)
deve ser igual a
N = 2\,y\,\frac{1+x^{2}}{1+2x^{2}}.
Assim
\frac{y}{1+2x^{2}} + h'(y) = \frac{2y(1+x^{2})}{1+2x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=y.
Integrando, h(y)=\tfrac{y^{2}}{2}.

Passo 6

Substituindo h(y) em F, obtemos
F(x,y) = \frac{y^{2}}{2(1+2x^{2})} - x + \frac{y^{2}}{2} = \frac{y^{2}(1+x^{2})}{1+2x^{2}} - x.
A solução geral vem de F(x,y)=C, com C constante.

Resposta

\frac{y^{2}(1+x^{2})}{1+2x^{2}} - x = C.

Exercícios relacionados