Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolvas as que forem.
3 x^{2} y^{2} d x+\left(2 x^{3} y+4 y^{3}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
3x^{2}y^{2}\,dx + \bigl(2x^{3}y + 4y^{3}\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e resolver a que for exata. Vamos usar o conceito de exatidão de equações diferenciais: uma equação
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 3x^{2}y^{2}, \qquad N(x,y) = 2x^{3}y + 4y^{3}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 6x^{2}y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 6x^{2}y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a solução, procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N.
Integrando M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int 3x^{2}y^{2}\,dx = x^{3}y^{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Em seguida, impomos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2x^{3}y + h'(y) \stackrel{!}{=} N = 2x^{3}y + 4y^{3},
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h'(y) = 4y^{3} \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y^{4}.
Portanto
\Psi(x,y) = x^{3}y^{2} + y^{4}.

Resposta

A solução implícita da equação exata é
x^{3}y^{2} + y^{4} = C,
onde C é constante de integração.

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