Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolvas as que forem.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se ela é exata e resolver a que for exata. Vamos usar o conceito de exatidão de equações diferenciais: uma equação
é exata se
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar a solução, procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
:
onde
é função a determinar. Em seguida, impomos
logo
Portanto
Resposta
A solução implícita da equação exata é
onde
é constante de integração.