Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
y d x+(1-x) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem \,y\,dx+(1-x)\,dy=0.
O conteúdo envolve testar se é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante que torne exata. Para resolver, precisamos calcular as derivadas parciais, identificar um fator integrante (função de x ou de y) e depois integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y, \quad N(x,y)=1-x.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=-1,
logo não é exata porque 1\neq -1.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. O teste clássico usa a razão
\frac{\tfrac{\partial M}{\partial y}-\tfrac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{1-(-1)}{1-x} =\frac{2}{1-x},
que é função só de x. Então
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{2}{1-x}\,dx\Bigr) =\exp(-2\ln|1-x|) =(1-x)^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=(1-x)^{-2}, obtendo
\frac{y}{(1-x)^{2}}\,dx+\frac{1}{1-x}\,dy=0.
Chamando
\widetilde M(x,y)=\frac{y}{(1-x)^{2}}, \quad \widetilde N(x,y)=\frac{1}{1-x},
vemos que
\frac{\partial\widetilde M}{\partial y} =\frac{1}{(1-x)^{2}} =\frac{\partial\widetilde N}{\partial x},
logo a equação é exata.

Passo 5

Existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x} =\widetilde M(x,y) =\frac{y}{(1-x)^{2}}.
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int\frac{y}{(1-x)^{2}}\,dx =\frac{y}{1-x}+h(y).
Derivando em y e igualando a \widetilde N,
\frac{\partial\Phi}{\partial y} =\frac{1}{1-x}+h'(y) =\frac{1}{1-x},
resulta h'(y)=0, ou seja, h(y)=C.

Passo 6

A função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{y}{1-x},
e a solução implícita geral é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
\frac{y}{1-x}=C.

Resposta

\displaystyle \frac{y}{1-x}=C

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