Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
.
O conteúdo envolve testar se é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante que torne exata. Para resolver, precisamos calcular as derivadas parciais, identificar um fator integrante (função de ou de
) e depois integrar para obter a solução geral.
O conteúdo envolve testar se é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante que torne exata. Para resolver, precisamos calcular as derivadas parciais, identificar um fator integrante (função de
Passo 2
Identificamos
Calculamos
logo não é exata porque
.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. O teste clássico usa a razão
que é função só de
. Então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Chamando
vemos que
logo a equação é exata.
Passo 5
Existe
tal que
Integramos em
:
Derivando em
e igualando a
,
resulta
, ou seja,
.
Passo 6
A função potencial é
e a solução implícita geral é
ou seja