Questão 3. ( 25 pontos) O problema da condução de calor, com extremidades isoladas, em uma barra de comprimento
, é dado pela equação diferencial parcial
com as condições de contorno
e
, sendo
a temperatura inicial da barra. Use o método da separação de variáveis para obter a solução deste problema como uma série formal, incluindo a fórmula de seus coeficientes. Justifique suas afirmações.
Passo 1
O enunciado dá o problema de calor numa barra de comprimento
:
com condições de contorno de derivada nula (extremidades isoladas)
e condição inicial
onde
é a temperatura inicial conhecida em
. O que se pede: usar separação de variáveis para obter a solução como uma série formal e dar a fórmula dos coeficientes, justificando as afirmações. Dados relevantes:
,
,
dada em
.
Passo 2
Ideia do método (sem pular passos): procurar soluções separáveis da forma
onde
depende só de
e
só de
. Substituir na PDE:
Dividindo por
(assumindo
e
não identicamente nulas) obtemos
O membro esquerdo depende só de
e o direito só de
; portanto ambos são iguais a uma constante que chamaremos de
. Assim obtemos o sistema de ODEs:
A constante
é o parâmetro de separação (autovalor). As condições de contorno implicam
Passo 3
Analisar os três casos para
: negativo, zero e positivo — porque cada caso dá soluções qualitativamente diferentes.
Caso
com
. Então
solução geral
. Derivada
BC em
:
. Então
. BC em
:
o que dá a solução trivial
. Logo não há autovalores negativos.
Passo 4
Caso
. Então
e
. BC
dá
constante. A BC em
é satisfeita automaticamente. Portanto existe um modo não trivial constante associado a
: tomar
(normalização conveniente). A equação temporal para
é
, então
constante. Esse modo corresponde à solução estacionária (temperatura média constante ao longo da barra).
Passo 5
Caso
. Escreva
com
. A equação espacial é
solução geral
A condição
dá
. Logo
. A outra BC
implica
. Para ter
precisamos
, i.e.
Portanto os autovalores positivos são
com autofunções (não normalizadas)
Recapitulando, temos um conjunto de modos:
Passo 6
Resolver a equação temporal para cada modo. Para
tem-se
cuja solução é
No caso
temos
constante. Assim cada modo separável dá a solução
Passo 7
Combinar os modos (soma linear) para obter a solução geral formal (soma sobre autovalores):
Aqui
são constantes a determinar a partir da condição inicial
.
Passo 8
Impor a condição inicial. Para
temos
Isto é exatamente a expansão de
na série de cossenos (série de Fourier com derivadas nulas nas extremidades). Para obter
usamos a ortogonalidade das funções
em
. Vamos mostrar essa ortogonalidade e a fórmula dos coeficientes.
Passo 9
Ortogonalidade (cálculo explícito, útil em prova). Para
,
usar a identidade trigonométrica
Integre termo a termo: para
os argumentos das cossenos nas integrais são múltiplos inteiros de
ao avaliar em
e
, levando integral nula; para
obtém-se
Além disso
Logo o conjunto é ortogonal com normas
e
para
.
Passo 10
Fórmulas dos coeficientes. Multiplique a expansão de
por
e integre para obter
:
Assim
Para
, multiplique a expansão por
e integre:
Portanto, para
,
Estas fórmulas são exatamente as do desenvolvimento em série de Fourier em cossenos (série de Fourier com condições tipo Neumann).
Passo 11
Conclusão formal e interpretação física (rápida): a solução formal do problema é
Justificativa: deriva-se pela separação de variáveis, solução do problema de Sturm–Liouville com BCs de Neumann, uso da ortogonalidade das autofunções para calcular coeficientes. Fisicamente,
é a média inicial da temperatura (modo zero, não decai), e os outros modos decaem exponencialmente com taxas
— modos de alta frequência decaem mais rápido. Em prova, mostre cada caso de
e calcule as integrais de ortogonalidade como feito acima.