Calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo A B C sabendo que A B=4, A C=6 e a altura A H relativa ao lado B C é igual a 3.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo A B C.
Dados fornecidos: A B=4, A C=6 e a altura relativa ao lado B C é A H=3.
Objetivo final: encontrar o raio R da circunferência circunscrita (circunrádio) do triângulo A B C.

Passo 2

Vou definir notação padrão para ficar claro o que cada letra significa:
Denoto por a o comprimento do lado B C (oposto ao vértice A), por b o comprimento do lado C A (oposto a B) e por c o comprimento do lado A B (oposto a C). Assim:
b = A C = 6,\qquad c = A B = 4,\qquad a = B C\\ \text{(desconhecido)}.
A área do triângulo, que vou chamar de \Delta, pode ser expressa usando a base B C e a altura A H:
\Delta = \tfrac{1}{2} a\cdot A H = \tfrac{1}{2} a\cdot 3 = \tfrac{3}{2}a.
Neste passo apenas organizei os dados — ainda não comecei a resolver.

Passo 3

Apresento agora uma fórmula importante que relaciona os lados de um triângulo, a sua área e o raio R do circuncírculo:
R = \frac{a b c}{4\Delta}.
Explicação didática desta fórmula (para você entender e poder usar na prova):
  • A área de um triângulo também pode ser escrita como \Delta = \tfrac{1}{2} b c \sin A, onde A é o ângulo no vértice A.
  • Pela lei dos senos (ou pela relação entre cordas e raio em circunferência), temos a = 2R\sin A.
  • Substituindo \sin A = \dfrac{a}{2R} na expressão da área obtemos \Delta = \tfrac{1}{2} b c \cdot \dfrac{a}{2R} = \dfrac{a b c}{4R}. Isolando R chegamos em R=\dfrac{a b c}{4\Delta}.
    Aqui expliquei o sentido de cada variável: a,b,c são os comprimentos dos lados, \Delta é a área, e R é o raio buscado.

Passo 4

Agora uso a expressão de \Delta que obtive no Passo 2 dentro da fórmula do Passo 3 para eliminar \Delta e, se possível, cancelar o lado a (porque a é desconhecido). Substituindo \Delta=\tfrac{3}{2}a em \displaystyle R=\frac{abc}{4\Delta} temos:
R = \frac{a b c}{4\cdot \tfrac{3}{2}a}.
Faço a simplificação passo a passo: o fator a no numerador e no denominador cancela, e 4\cdot \tfrac{3}{2}=2\cdot 3=6. Logo
R = \frac{b c}{6} = \frac{b c}{2\cdot 3} = \frac{b c}{2\cdot A H}.
Ou, de forma mais direta e útil na prova:
R = \frac{b c}{2\,h},
onde h é a altura relativa a a (aqui h=A H). Note que foi uma boa sacada usar a área em função da altura: isso faz o lado a desaparecer e permite calcular R só com b,c e h.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos conhecidos: b=6, c=4 e h=A H=3. Assim
R = \frac{b c}{2h} = \frac{6\cdot 4}{2\cdot 3}.
Calculo passo a passo: 6\cdot 4 = 24 e 2\cdot 3 = 6. Portanto
R = \frac{24}{6} = 4.
É sempre bom conferir mentalmente: a fórmula usada é consistente com as relações básicas (lei dos senos/área) e a álgebra cancelou corretamente o lado desconhecido a, por isso o resultado é confiável.

Resposta

4

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