Calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo
sabendo que
e a altura
relativa ao lado
é igual a 3.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo
.
Dados fornecidos: ,
e a altura relativa ao lado
é
.
Objetivo final: encontrar o raio da circunferência circunscrita (circunrádio) do triângulo
.
Dados fornecidos:
Objetivo final: encontrar o raio
Passo 2
Vou definir notação padrão para ficar claro o que cada letra significa:
Denoto por o comprimento do lado
(oposto ao vértice
), por
o comprimento do lado
(oposto a
) e por
o comprimento do lado
(oposto a
). Assim:
Denoto por
A área do triângulo, que vou chamar de
, pode ser expressa usando a base
e a altura
:
Neste passo apenas organizei os dados — ainda não comecei a resolver.
Passo 3
Apresento agora uma fórmula importante que relaciona os lados de um triângulo, a sua área e o raio
do circuncírculo:
Explicação didática desta fórmula (para você entender e poder usar na prova):
- A área de um triângulo também pode ser escrita como
, onde é o ângulo no vértice . - Pela lei dos senos (ou pela relação entre cordas e raio em circunferência), temos
. - Substituindo
na expressão da área obtemos . Isolando chegamos em .
Aqui expliquei o sentido de cada variável:são os comprimentos dos lados, é a área, e é o raio buscado.
Passo 4
Agora uso a expressão de
que obtive no Passo 2 dentro da fórmula do Passo 3 para eliminar
e, se possível, cancelar o lado
(porque
é desconhecido). Substituindo
em
temos:
Faço a simplificação passo a passo: o fator
no numerador e no denominador cancela, e
. Logo
Ou, de forma mais direta e útil na prova:
onde
é a altura relativa a
(aqui
). Note que foi uma boa sacada usar a área em função da altura: isso faz o lado
desaparecer e permite calcular
só com
e
.
Passo 5
Agora substituo os valores numéricos conhecidos:
,
e
. Assim
Calculo passo a passo:
e
. Portanto
É sempre bom conferir mentalmente: a fórmula usada é consistente com as relações básicas (lei dos senos/área) e a álgebra cancelou corretamente o lado desconhecido
, por isso o resultado é confiável.