Resolva as equações:
a) y^prime=e^x-2 y
b) x^2 y^2 d yd x=1+x^2
c) y^prime sen x+y cos x=1
d) y^prime=x^3-2 x y
e) (1-x y)+(x y-x^2) y^prime=0
f) (3 x^2 tg y-2 y^3x^3)+(x^3 sec ^2 y+4 y^3+3 y^2x^2) y^prime=0
g) x y^prime=y+raizx^2+y^2
h) (1+x^2) y^prime+x y+(1+x^2)^52=0
i) y^prime=yx+cos ^2(yx)

Passo 1

Estamos com nove equações diferenciais de primeira ordem, cada uma pertencendo a uma classe que exige um método diferente: algumas são separáveis, outras são lineares, exatas ou homogêneas. Vamos identificar o tipo de cada uma, usar separação de variáveis, fator integrante, testar exatidão ou fazer a substituição homogênea adequada.

Passo 2

Para (a) temos uma equação separável: y′=e^{x−2y}. Isolamos dy e dx: e{2y}dy=ex dx. Integramos: ∫e^2ydy=∫e^x dx que dá tfrac12 e^2y=e^x+C. Logo e^2y=2(e^x+C) e y=tfrac12lnl(2(e^x+C)r)

Passo 3

Em (b) x2y2(dy/dx)=1+x^2 também é separável. Escrevemos y^2 dy=\bigl(1+x2\bigr)/x2 dx=\bigl(x^{-2}+1\bigr)dx. Integrando: ∫y^2 dy=∫(x^-2+1)dx resulta em tfrac13y^3=-x^-1+x+C. Assim y^3=3l(-tfrac1x+x+Cr) e y=l[3(-x^-1+x+C)r]^1/3

Passo 4

A equação © y′sen x+y cos x=1 é linear em y. Dividimos tudo por sen x: y′+cot x·y=csc x. O fator integrante é μ=e^{∫cot x dx}=sen x. Multiplicando: (y sen x)’=1, logo y sen x=x+C e finalmente y=(x+C)/ sen x

Passo 5

Na (d) y′=x^3−2xy temos uma linear y′+2x y=x^3. O fator integrante é μ=e^{∫2x dx}=e{x2}. Então (y e^x^2)'=x^3e^x^2 Integral de x3e{x^2} com u=x^2 dá y e^x^2=tfrac12(x^2−1)e^x^2+C, logo y=tfracx^2−12+Ce^-x^2

Passo 6

Na (e) (1−xy)+(xy−x^2)y′=0 testamos exatidão e vemos que não é exata, mas o fator integrante μ(x)=x^{−1} resolve. Multiplicando, obtemos M=1/x−y e N=y−x, que satisfaz dM/dy=dN/dx=−1. Então existe φ tal que φ_x=1/x−y, φ_y=y−x. Integrando dá φ=ln x−xy+tfrac12y^2=C

Passo 7

Em (f) a forma M+N y′=0 com M=3x^2 tg y−2y3/x3 e N=x^3 sec2y+4y3+3y2/x2 é exata, pois dM/dy=dN/dx. Integramos M em x: φ=x^3 tg y+y3/x2+h(y). Igualando a derivada em y a N, obtemos h’(y)=4y^3 e h=y^4. Logo a solução implícita é $$x^3
tan y+\tfrac{y3}{x2}+y^4=C.$$

Passo 8

Para (g) x dy/dx=y+√{x2+y2} notamos que é homogênea (grau 1). Fazemos y=vx, dy/dx=v+x dv/dx. Substituindo: x(v+x dv/dx)=vx+x√{1+v^2}. Cancelando vx e separando variáveis: dv/√{1+v^2}=dx/x. Integrando: arcsinh v=ln|x|+C, ou seja $$\operatorname{arsinh}(y/x)=
ln|x|+C.$$

Passo 9

Na (h) (1+x^2)y′+x y+(1+x2){5/2}=0 é linear. Dividindo: y′+\tfrac{x}{1+x2}y=−(1+x2)^{3/2}. O fator integrante é μ=(1+x2){1/2}, e (y√{1+x2})’=−(1+x2)^2. Integrando: Finalmente y√1+x^2=-∫(1+2x^2+x^4)dx=-l(x+tfrac23x^3+tfrac15x^5)+C

Passo 10

Na (i) y′=y/x+cos^2(y/x) fazemos y=vx, então v+x dv/dx=v+cos^2v, logo x dv/dx=cos^2v. Separamos: ∫sec^2v dv=∫dx/x, obtendo tan v=ln|x|+C. Voltando: y/x=v=arctan(ln|x|+C), ou $$y=x
arctan(ln|x|+C).$$

Resposta

a) y=\tfrac12\ln\bigl(2(e^x+C)\bigr)
b) y=\bigl[3(-x{−1}+x+C)\bigr]{1/3}
c) y=(x+C)/sin x
d) y=\tfrac{x2−1}2+Ce{−x^2}
e) ln x−xy+\tfrac12y^2=C
f) x^3 tan y+\tfrac{y3}{x2}+y^4=C
g) arcsinh(y/x)=ln|x|+C
h) y=\dfrac{C−x−\tfrac23x3−\tfrac15x5}{√{1+x^2}}
i) y=x arctan(ln|x|+C)

Exercícios relacionados