Resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
Estamos com nove equações diferenciais de primeira ordem, cada uma pertencendo a uma classe que exige um método diferente: algumas são separáveis, outras são lineares, exatas ou homogêneas. Vamos identificar o tipo de cada uma, usar separação de variáveis, fator integrante, testar exatidão ou fazer a substituição homogênea adequada.
Passo 2
Para (a) temos uma equação separável: y′=e^{x−2y}. Isolamos dy e dx: e{2y}dy=ex dx. Integramos:
que dá
. Logo
e
Passo 3
Em (b) x2y2(dy/dx)=1+x^2 também é separável. Escrevemos y^2 dy=\bigl(1+x2\bigr)/x2 dx=\bigl(x^{-2}+1\bigr)dx. Integrando:
resulta em
. Assim
e
Passo 4
A equação © y′sen x+y cos x=1 é linear em y. Dividimos tudo por sen x: y′+cot x·y=csc x. O fator integrante é μ=e^{∫cot x dx}=sen x. Multiplicando: (y sen x)’=1, logo y sen x=x+C e finalmente
Passo 5
Na (d) y′=x^3−2xy temos uma linear y′+2x y=x^3. O fator integrante é μ=e^{∫2x dx}=e{x2}. Então
Integral de x3e{x^2} com u=x^2 dá
, logo
Passo 6
Na (e) (1−xy)+(xy−x^2)y′=0 testamos exatidão e vemos que não é exata, mas o fator integrante μ(x)=x^{−1} resolve. Multiplicando, obtemos M=1/x−y e N=y−x, que satisfaz dM/dy=dN/dx=−1. Então existe φ tal que φ_x=1/x−y, φ_y=y−x. Integrando dá
Passo 7
Em (f) a forma M+N y′=0 com M=3x^2 tg y−2y3/x3 e N=x^3 sec2y+4y3+3y2/x2 é exata, pois dM/dy=dN/dx. Integramos M em x: φ=x^3 tg y+y3/x2+h(y). Igualando a derivada em y a N, obtemos h’(y)=4y^3 e h=y^4. Logo a solução implícita é $$x^3
tan y+\tfrac{y3}{x2}+y^4=C.$$
Passo 8
Para (g) x dy/dx=y+√{x2+y2} notamos que é homogênea (grau 1). Fazemos y=vx, dy/dx=v+x dv/dx. Substituindo: x(v+x dv/dx)=vx+x√{1+v^2}. Cancelando vx e separando variáveis: dv/√{1+v^2}=dx/x. Integrando: arcsinh v=ln|x|+C, ou seja $$\operatorname{arsinh}(y/x)=
ln|x|+C.$$
Passo 9
Na (h) (1+x^2)y′+x y+(1+x2){5/2}=0 é linear. Dividindo: y′+\tfrac{x}{1+x2}y=−(1+x2)^{3/2}. O fator integrante é μ=(1+x2){1/2}, e (y√{1+x2})’=−(1+x2)^2. Integrando: Finalmente
Passo 10
Na (i) y′=y/x+cos^2(y/x) fazemos y=vx, então v+x dv/dx=v+cos^2v, logo x dv/dx=cos^2v. Separamos: ∫sec^2v dv=∫dx/x, obtendo tan v=ln|x|+C. Voltando:
ou $$y=x
arctan(ln|x|+C).$$
Resposta
a) y=\tfrac12\ln\bigl(2(e^x+C)\bigr)
b) y=\bigl[3(-x{−1}+x+C)\bigr]{1/3}
c) y=(x+C)/sin x
d) y=\tfrac{x2−1}2+Ce{−x^2}
e) ln x−xy+\tfrac12y^2=C
f) x^3 tan y+\tfrac{y3}{x2}+y^4=C
g) arcsinh(y/x)=ln|x|+C
h) y=\dfrac{C−x−\tfrac23x3−\tfrac15x5}{√{1+x^2}}
i) y=x arctan(ln|x|+C)
b) y=\bigl[3(-x{−1}+x+C)\bigr]{1/3}
c) y=(x+C)/sin x
d) y=\tfrac{x2−1}2+Ce{−x^2}
e) ln x−xy+\tfrac12y^2=C
f) x^3 tan y+\tfrac{y3}{x2}+y^4=C
g) arcsinh(y/x)=ln|x|+C
h) y=\dfrac{C−x−\tfrac23x3−\tfrac15x5}{√{1+x^2}}
i) y=x arctan(ln|x|+C)