Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial dada:
- Verificar se essa equação é homogênea.
- Se for homogênea, resolvê-la (achar a solução geral).
Informações fornecidas: a equação relaciona
(derivada de
em relação a
) com uma expressão racional em
e
. Não há condições iniciais dadas, então buscamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
O que significa testar homogeneidade (de forma prática para este problema).
Uma função é chamada de homogênea de grau zero se, ao multiplicar as variáveis por um escalar
, o valor não muda, isto é,
Uma função
Na prática uma maneira simples de verificar é tentar escrever
como função de
(ou de
). Se for possível, então
tem grau zero e a equação
é dita homogênea (isso permite a substituição padrão abaixo).
Passo 3
Aplicando o teste à nossa função
(o lado direito da ODE):
Divido numerador e denominador por
(assumindo
, pois
aparecerá depois e a equação original tem
no denominador):
Portanto
depende apenas da razão
, logo é homogênea de grau zero. Conclusão: a equação é homogênea e podemos usar a substituição padrão
, com
.
Passo 4
Explicando a substituição e por que ela ajuda.
Defina
Defina
Queremos expressar
em termos de
e
. Diferenciando
em relação a
(produto):
Essa é a fórmula-chave: ao substituir na ODE obtemos uma equação em
e
que normalmente é separável.
Passo 5
Substituir
e
na equação original. Aqui escrevo
:
porque já vimos que
.
Agora isole
:
Simplifique o lado direito:
Portanto
Passo 6
A equação em
agora é separável. Reescrevo e separo variáveis:
Integro ambos os lados. Vou explicar a integral:
é a primitiva da potência
, que é
. A integral de
é
. Assim:
onde
é constante de integração.
Passo 7
Volto para a variável original
. Lembre que
. Substituindo:
Multiplicando por
(para isolar
):
onde
é outra constante arbitrária real. Observações importantes sobre domínio e constantes:
- A manipulação exigiu
(presente já na equação original). - Não dividimos por
no passo que invalidaria ; de fato significa , que não é solução válida porque o lado direito inicial teria divisão por zero. Logo identicamente; a solução geral está dada implicitamente por acima. - Podemos também escrever a solução explicitamente:
desde que a expressão dentro da raiz seja não negativa para
no domínio considerado.
Passo 8
Resumo prático (como lembrar na prova): quando
depende apenas de
, use
. Ao obter uma equação separável em
e
, integre e volte para
. Aqui o processo levou diretamente a
Resposta
ou, equivalentemente,
com
e
constante real.