Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial dada:
y'=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}.
  • Verificar se essa equação é homogênea.
  • Se for homogênea, resolvê-la (achar a solução geral).
Informações fornecidas: a equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com uma expressão racional em x e y. Não há condições iniciais dadas, então buscamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

O que significa testar homogeneidade (de forma prática para este problema).
Uma função F(x,y) é chamada de homogênea de grau zero se, ao multiplicar as variáveis por um escalar t, o valor não muda, isto é,
F(tx,ty)=F(x,y).
Na prática uma maneira simples de verificar é tentar escrever F(x,y) como função de \dfrac{y}{x} (ou de \dfrac{x}{y}). Se for possível, então F tem grau zero e a equação y'=F(x,y) é dita homogênea (isso permite a substituição padrão abaixo).

Passo 3

Aplicando o teste à nossa função F (o lado direito da ODE):
F(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}.
Divido numerador e denominador por x^{2} (assumindo x\neq0, pois \ln|x| aparecerá depois e a equação original tem x no denominador):
F(x,y)=\frac{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}{\dfrac{y}{x}}.
Portanto F depende apenas da razão \dfrac{y}{x}, logo é homogênea de grau zero. Conclusão: a equação é homogênea e podemos usar a substituição padrão y=vx, com v=v(x).

Passo 4

Explicando a substituição e por que ela ajuda.
Defina
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Queremos expressar y' em termos de v e dv/dx. Diferenciando y=vx em relação a x (produto):
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Essa é a fórmula-chave: ao substituir na ODE obtemos uma equação em v e x que normalmente é separável.

Passo 5

Substituir y=vx e y'=v+xv' na equação original. Aqui escrevo v'=\dfrac{dv}{dx}:
v + x v' = \frac{1+v^{2}}{v},
porque já vimos que \dfrac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\dfrac{1+v^{2}}{v}.
Agora isole v':
x v' = \frac{1+v^{2}}{v} - v.
Simplifique o lado direito:
\frac{1+v^{2}}{v} - v = \frac{1+v^{2}-v^{2}}{v} = \frac{1}{v}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}.

Passo 6

A equação em v agora é separável. Reescrevo e separo variáveis:
v\,dv = \frac{dx}{x}.
Integro ambos os lados. Vou explicar a integral: \int v\,dv é a primitiva da potência v^{1}, que é \dfrac{v^{2}}{2}. A integral de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Assim:
\int v\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Rightarrow\quad \frac{v^{2}}{2} = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Volto para a variável original y. Lembre que v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^{2} = \ln|x| + C.
Multiplicando por 2x^{2} (para isolar y^{2}):
y^{2} = x^{2}\bigl(2\ln|x| + C_{1}\bigr),
onde C_{1}=2C é outra constante arbitrária real. Observações importantes sobre domínio e constantes:
  • A manipulação exigiu x\neq0 (presente já na equação original).
  • Não dividimos por v no passo que invalidaria v=0; de fato v=0 significa y\equiv0, que não é solução válida porque o lado direito inicial teria divisão por zero. Logo y\neq0 identicamente; a solução geral está dada implicitamente por acima.
  • Podemos também escrever a solução explicitamente:
y=\pm x\sqrt{2\ln|x|+C_{1}},
desde que a expressão dentro da raiz seja não negativa para x no domínio considerado.

Passo 8

Resumo prático (como lembrar na prova): quando F(x,y) depende apenas de y/x, use y=vx. Ao obter uma equação separável em v e x, integre e volte para y. Aqui o processo levou diretamente a
\frac{v^{2}}{2}=\ln|x|+C \quad\Rightarrow\quad y^{2}=x^{2}\bigl(2\ln|x|+C_{1}\bigr).

Resposta

y^{2}=x^{2}\bigl(2\ln|x|+C\bigr)
ou, equivalentemente,
y=\pm x\sqrt{2\ln|x|+C},
com x\neq0 e C constante real.

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