Dê o grau e a ordem das equações diferenciais:
y^{\prime \prime \prime}-3\left(y{\prime}\right){2}+x=0, y=y(x)
y^{\prime \prime \prime}-3\left(y{\prime}\right){2}+x=0, y=y(x)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que a questão pede: determinar a ordem e o grau dessa equação diferencial.
Passo 2
Definição e como achar a ordem (a explicação passo a passo).
- Ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de mais alta ordem que aparece na equação.
- Notação:
é a primeira derivada, a segunda, a terceira, e assim por diante. - Na equação dada aparecem
(terceira derivada) e (primeira derivada). A maior ordem presente é a terceira.
Portanto, a ordem da equação é.
Passo 3
Definição e condição para definir o grau (explicação didática).
- Grau de uma equação diferencial é o expoente (o maior inteiro) em que ocorre a derivada de maior ordem, depois de tornar a equação um polinômio em todas as derivadas (ou seja, depois de eliminar raízes fracionárias, denominadores que contenham derivadas etc.).
- Importante: o grau só está definido quando a equação é polinomial em todas as derivadas. Se a derivada de maior ordem aparece dentro de uma função não-polinomial (por exemplo
, , ou em um radical envolvendo a derivada), diz-se que o grau não está definido.
Passo 4
Aplicando a definição ao problema (passo a passo de verificação).
- Reescrevendo a equação (peguei a forma diretamente do enunciado):
- Observação: todas as derivadas aparecem de forma polinomial (aparecem somente
na potência e na potência ). Não há radicais nem funções transcendentes que envolvam . Assim a equação é polinomial em relação às derivadas. - A derivada de maior ordem é
e nela o expoente é (aparece linearmente). Portanto o grau, que é o expoente da derivada de maior ordem, vale .
Passo 5
Comentários finais e exemplos curtos para fixar o conceito.
- Exemplo para comparar: em
a ordem é e o grau é . - Exemplo onde o grau não está definido: em
a ordem é mas o grau NÃO está definido porque aparece dentro de .
Segue a conclusão final do problema.