Dê o grau e a ordem das equações diferenciais:
y^{\prime \prime \prime}-3\left(y{\prime}\right){2}+x=0, y=y(x)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-3\left(y^{\prime}\right)^{2}+x=0,\qquad y=y(x).
O que a questão pede: determinar a ordem e o grau dessa equação diferencial.

Passo 2

Definição e como achar a ordem (a explicação passo a passo).
  • Ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de mais alta ordem que aparece na equação.
  • Notação: y' é a primeira derivada, y'' a segunda, y^{\prime\prime\prime} a terceira, e assim por diante.
  • Na equação dada aparecem y^{\prime\prime\prime} (terceira derivada) e y' (primeira derivada). A maior ordem presente é a terceira.
    Portanto, a ordem da equação é 3.

Passo 3

Definição e condição para definir o grau (explicação didática).
  • Grau de uma equação diferencial é o expoente (o maior inteiro) em que ocorre a derivada de maior ordem, depois de tornar a equação um polinômio em todas as derivadas (ou seja, depois de eliminar raízes fracionárias, denominadores que contenham derivadas etc.).
  • Importante: o grau só está definido quando a equação é polinomial em todas as derivadas. Se a derivada de maior ordem aparece dentro de uma função não-polinomial (por exemplo \sin, \exp, ou em um radical envolvendo a derivada), diz-se que o grau não está definido.

Passo 4

Aplicando a definição ao problema (passo a passo de verificação).
  • Reescrevendo a equação (peguei a forma diretamente do enunciado):
y^{\prime\prime\prime}-3\left(y^{\prime}\right)^{2}+x=0.
  • Observação: todas as derivadas aparecem de forma polinomial (aparecem somente y^{\prime\prime\prime} na potência 1 e \left(y'\right)^2 na potência 2). Não há radicais nem funções transcendentes que envolvam y^{\prime\prime\prime}. Assim a equação é polinomial em relação às derivadas.
  • A derivada de maior ordem é y^{\prime\prime\prime} e nela o expoente é 1 (aparece linearmente). Portanto o grau, que é o expoente da derivada de maior ordem, vale 1.

Passo 5

Comentários finais e exemplos curtos para fixar o conceito.
  • Exemplo para comparar: em \left(y''\right)^3+y=0 a ordem é 2 e o grau é 3.
  • Exemplo onde o grau não está definido: em \sin\!\big(y''\big)+y=0 a ordem é 2 mas o grau NÃO está definido porque y'' aparece dentro de \sin(\cdot).
    Segue a conclusão final do problema.

Resposta

\text{Ordem} = 3
\text{Grau} = 1

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