Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
(x^{2}+2 x y^{3}) d x+(y^{2}+3 x^{2} y^{2}) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(x^{2}+2 x y^{3})\,dx+(y^{2}+3 x^{2} y^{2})\,dy=0
e pede que se determine o tipo dessa equação e que se indique o método de resolução.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A equação está na forma diferencial de primeira ordem em forma diferencial abundante M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Identificamos
M(x,y)=x^{2}+2x y^{3}, \qquad N(x,y)=y^{2}+3x^{2}y^{2}.
O objetivo é: (i) dizer qual o tipo da equação (por exemplo exata, linear, separável, homogênea, etc.) e (ii) indicar o método usado para resolver (e, como eu gosto de ensinar passo a passo, vou também obter a solução geral).

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (passo didático): uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é dita exata se existir uma função \Phi(x,y) tal que
d\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\Phi}{\partial y}\,dy=M\,dx+N\,dy.
Isso significa que, em uma região apropriada, devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade vale, podemos encontrar \Phi integrando M em relação a x e completando com uma função de y; ou integrando N em relação a y e completando com uma função de x. Vou aplicar esse teste.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrar passo a passo):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+2x y^{3}\bigr) = 0 + 2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2}.
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}+3x^{2}y^{2}\bigr) = 0 + 3\cdot 2x\;y^{2}=6x y^{2}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=6x y^{2}, a condição de exatidão está satisfeita (pelo menos onde as funções são diferenciáveis, isto é, normalmente em todo (x,y) com x,y reais).

Passo 4

Interpretação do resultado e escolha do método:
  • Conclui-se que a equação é uma equação diferencial exata.
  • Método de resolução: procurar uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. A solução geral será dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante.

Passo 5

Encontrar explicitamente \Phi(x,y) integrando M em relação a x (mostrando contas):
Integrar
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(x^{2}+2x y^{3}\bigr)\,dx.
Trata-se de integrar termo a termo, tratando y como constante nessa integração:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}, \qquad \int 2x y^{3}\,dx=2y^{3}\int x\,dx=2y^{3}\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y^{3}.
Portanto, a primitiva em relação a x é
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y^{3}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (aparece porque ao integrar em x a “constante” de integração pode depender de y).

Passo 6

Determinar h(y) usando a condição \partial\Phi/\partial y=N:
Calcular \partial\Phi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y^{3}+h(y)\biggr) = 0 + x^{2}\cdot 3y^{2} + h'(y) =3x^{2}y^{2}+h'(y).
Essa derivada deve ser igual a N(x,y)=y^{2}+3x^{2}y^{2}. Igualando:
3x^{2}y^{2}+h'(y)=y^{2}+3x^{2}y^{2}.
Cancelando os termos iguais 3x^{2}y^{2} em ambos os lados, sobra
h'(y)=y^{2}.
Integrando em relação a y:
h(y)=\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}+C_0,
onde C_0 é constante. Podemos incorporá-la depois na constante geral da solução.

Passo 7

Escrever a função potencial \Phi completa e a solução implícita:
Substituindo h(y) em \Phi:
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y^{3}+\frac{y^{3}}{3}.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y^{3}+\frac{y^{3}}{3}=C,
onde C é constante arbitrária. Para ficar mais “limpo”, pode-se multiplicar por 3 e escrever
x^{3}+3x^{2}y^{3}+y^{3}=C',
com C'=3C outra constante arbitrária.

Resposta

Tipo: equação exata.
Método e solução geral: integrar M em x e completar com função de y, obtendo solução implícita
\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y^{3}+\frac{y^{3}}{3}=C.

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