Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
(x^{2}+2 x y^{3}) d x+(y^{2}+3 x^{2} y^{2}) d y=0
(x^{2}+2 x y^{3}) d x+(y^{2}+3 x^{2} y^{2}) d y=0
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede que se determine o tipo dessa equação e que se indique o método de resolução.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- A equação está na forma diferencial de primeira ordem em forma diferencial abundante
. - Identificamos
O objetivo é: (i) dizer qual o tipo da equação (por exemplo exata, linear, separável, homogênea, etc.) e (ii) indicar o método usado para resolver (e, como eu gosto de ensinar passo a passo, vou também obter a solução geral).
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (passo didático): uma equação da forma
é dita exata se existir uma função
tal que
Isso significa que, em uma região apropriada, devemos ter
Se essa igualdade vale, podemos encontrar
integrando
em relação a
e completando com uma função de
; ou integrando
em relação a
e completando com uma função de
. Vou aplicar esse teste.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrar passo a passo):
Como
, a condição de exatidão está satisfeita (pelo menos onde as funções são diferenciáveis, isto é, normalmente em todo
com
reais).
Passo 4
Interpretação do resultado e escolha do método:
- Conclui-se que a equação é uma equação diferencial exata.
- Método de resolução: procurar uma função potencial
tal que e . A solução geral será dada implicitamente por
onde
é constante.
Passo 5
Encontrar explicitamente
integrando
em relação a
(mostrando contas):
Integrar
Integrar
Trata-se de integrar termo a termo, tratando
como constante nessa integração:
Portanto, a primitiva em relação a
é
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque ao integrar em
a “constante” de integração pode depender de
).
Passo 6
Determinar
usando a condição
:
Calcular a partir da expressão encontrada:
Calcular
Essa derivada deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos iguais
em ambos os lados, sobra
Integrando em relação a
:
onde
é constante. Podemos incorporá-la depois na constante geral da solução.
Passo 7
Escrever a função potencial
completa e a solução implícita:
Substituindo em
:
Substituindo
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
onde
é constante arbitrária. Para ficar mais “limpo”, pode-se multiplicar por
e escrever
com
outra constante arbitrária.
Resposta
Tipo: equação exata.
Método e solução geral: integrar
em
e completar com função de
, obtendo solução implícita