Verifique que é exata e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: verificar que a equação é exata e encontrar a solução geral.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: a equação já está escrita na forma , com
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: a equação já está escrita na forma
Nenhuma outra informação (condição inicial) foi dada, então procuraremos a solução geral implícita.
Passo 2
O que significa ser exata e como verificamos — uma mini-aula prática.
Uma equação da forma
Uma equação da forma
é chamada de exata em uma região se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática para testar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é:
Se essa igualdade vale numa região simplesmente conectada, a equação é exata. Aqui vamos calcular essas derivadas parciais para os
e
dados.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e verificar a igualdade.
Começando por :
Começando por
Agora
; derivando em relação a
:
pois
é tratado como constante quando derivamos em relação a
. Como
a igualdade vale. Conclusão: a equação é exata (em qualquer região onde as funções trigonométricas são regulares, isto é, basicamente em toda
).
Passo 4
Como encontrar a função potencial
— método passo a passo.
Sabendo que , integramos
em relação a
(tratando
como constante):
Sabendo que
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos informação sobre termos que dependem só de
).
Explicação curta: integrar
em
dá
porque
é constante em
; o termo
aparece para permitir qualquer função que dependa apenas de
.
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
Calculamos a partir da expressão encontrada:
Calculamos
Mas devemos ter
. Igualando:
Isso implica que
portanto
é constante:
(constante real).
Passo 6
Escrever a solução geral usando a função potencial.
Com obtemos
Com
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
constante; normalmente escrevemos
onde
é uma constante arbitrária (absorvemos
no lado direito). Observação prática: essa é a solução implícita; se for necessário isolar
, temos
, válido onde
.