Verifique que é exata e resolva.
\cos y d x-x \operatorname{sen} y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\cos y\,dx - x\sin y\,dy = 0
e pede duas coisas: verificar que a equação é exata e encontrar a solução geral.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: a equação já está escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0, com
M(x,y)=\cos y,\qquad N(x,y)=-x\sin y.
Nenhuma outra informação (condição inicial) foi dada, então procuraremos a solução geral implícita.

Passo 2

O que significa ser exata e como verificamos — uma mini-aula prática.
Uma equação da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é chamada de exata em uma região se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para testar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade vale numa região simplesmente conectada, a equação é exata. Aqui vamos calcular essas derivadas parciais para os M e N dados.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e verificar a igualdade.
Começando por M(x,y)=\cos y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\cos y) = -\sin y.
Agora N(x,y)=-x\sin y; derivando em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-x\sin y) = -\sin y,
pois \sin y é tratado como constante quando derivamos em relação a x. Como
\frac{\partial M}{\partial y}=-\sin y=\frac{\partial N}{\partial x},
a igualdade vale. Conclusão: a equação é exata (em qualquer região onde as funções trigonométricas são regulares, isto é, basicamente em toda \mathbb{R}^2).

Passo 4

Como encontrar a função potencial \Psi(x,y) — método passo a passo.
Sabendo que \Psi_x=M=\cos y, integramos M em relação a x (tratando y como constante):
\Psi(x,y)=\int \cos y\,dx = x\cos y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos informação sobre termos que dependem só de y).
Explicação curta: integrar \cos y em x x\cos y porque \cos y é constante em x; o termo h(y) aparece para permitir qualquer função que dependa apenas de y.

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \Psi_y=N.
Calculamos \Psi_y a partir da expressão encontrada:
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x\cos y + h(y)\big) = -x\sin y + h'(y).
Mas devemos ter \Psi_y = N(x,y) = -x\sin y. Igualando:
-x\sin y + h'(y) = -x\sin y.
Isso implica que
h'(y)=0,
portanto h(y) é constante: h(y)=C_0 (constante real).

Passo 6

Escrever a solução geral usando a função potencial.
Com h(y)=C_0 obtemos
\Psi(x,y)=x\cos y + C_0.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é \Psi(x,y)= constante; normalmente escrevemos
x\cos y = C,
onde C é uma constante arbitrária (absorvemos C_0 no lado direito). Observação prática: essa é a solução implícita; se for necessário isolar x, temos x = \dfrac{C}{\cos y}, válido onde \cos y\neq 0.

Resposta

\;x\cos y = C

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