Mostre que se an 0 e a sequência (bn) é limitada, então an bn 0. Use isso para mostrar que e^-n cos n pi4 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se anto0 e a sequência (bn) é limitada, então an bnto0. O conteúdo é limites de sequências, e vamos usar a definição de limite e o fato de que sequência limitada implica que existe um majorante. Depois, aplicar esse resultado ao caso e^-ncostfracnpi4.

Passo 2

Se (bn) é limitada, existe M>0 tal que |bn|<= M para todo n. Como anto0, dado varepsilon>0 existe N tal que para todo n>= N vale |an|. Então para n>= N temos [|a_n b_n|\le|a_n|,|b_n|\le\frac{\varepsilon}{M},M=\varepsilon.]Isso mostra que an bnto0.

Passo 3

No caso específico, tome an=e^-n e bn=costfracnpi4. Sabemos que e^-nto0 quando ntoinfty e que |costfracnpi4|<=1 para todo n, ou seja, (bn) é limitada com M=1. Pelo resultado geral, segue que e^-ncostfracnpi4to0.

Resposta

0

Exercícios relacionados