Mostre que se
e a sequência
é limitada, então
. Use isso para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se
e a sequência
é limitada, então
. O conteúdo é limites de sequências, e vamos usar a definição de limite e o fato de que sequência limitada implica que existe um majorante. Depois, aplicar esse resultado ao caso
.
Passo 2
Se
é limitada, existe
tal que
para todo
. Como
, dado
existe
tal que para todo
vale
. Então para
temos [|a_n b_n|\le|a_n|,|b_n|\le\frac{\varepsilon}{M},M=\varepsilon.]Isso mostra que
.
Passo 3
No caso específico, tome
e
. Sabemos que
quando
e que
para todo
, ou seja,
é limitada com
. Pelo resultado geral, segue que
.
Resposta
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