Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) -x+y x^2+1y-1

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado pede: é para verificar se existe o limite
lim(x,y)to(0,0)-x + y x^2 + 1y - 1
o conteúdo usado aqui é limites de funções de duas variáveis e o critério de continuidade quando o denominador não se anula.

Passo 2

Vamos separar numerador e denominador e calcular seus limites quando (x,y)to(0,0):
  • Numerador: -x + yx^2 + 1. Quando (x,y)to(0,0), observamos que
lim(x,y)to(0,0)(-x + yx^2 + 1) = -0 + 0cdot0^2 + 1 = 1
  • Denominador: y - 1. Quando (x,y)to(0,0), temos
lim(x,y)to(0,0)(y - 1) = 0 - 1 = -1

Passo 3

Como o limite do denominador é -1, que é diferente de zero, podemos usar o teorema da continuidade (ou da divisão de limites): o limite da razão é a razão dos limites. Assim,
lim(x,y)to(0,0)-x + yx^2 + 1y - 1 = lim(-x + yx^2 + 1)lim(y - 1) = 1-1

Passo 4

Portanto, o limite existe e é dado por
-1

Resposta

-1

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