Verifique que existe uma única matriz A \in M_{3 \times 3} tal que A\left(\begin{array}{l}a \\\ b \\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+b \\\ a-b \\\\ 0\end{array}\right), para quaisquer a, b, c \in \mathbb{R}. Encontre essa matriz.
Passo 1
O enunciado pede a matriz A\in M_{3\times3} que implementa a transformação linear
(a,b,c)\mapsto (a+b,\;a-b,\;0)
para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}. Vamos usar a propriedade de linearidade, ou seja, determinar as colunas de A aplicando-a aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3.
Passo 2
Denote por e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1). Então a j-ésima coluna de A é A e_j.