Verifique que existe uma única matriz A \in M_{3 \times 3} tal que A\left(\begin{array}{l}a \\\ b \\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+b \\\ a-b \\\\ 0\end{array}\right), para quaisquer a, b, c \in \mathbb{R}. Encontre essa matriz.

Passo 1

O enunciado pede a matriz A\in M_{3\times3} que implementa a transformação linear
(a,b,c)\mapsto (a+b,\;a-b,\;0)
para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}. Vamos usar a propriedade de linearidade, ou seja, determinar as colunas de A aplicando-a aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Denote por e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1). Então a j-ésima coluna de A é A e_j.
  • A e_1 = A(1,0,0) = (1+0,\;1-0,\;0) = (1,1,0).
  • A e_2 = A(0,1,0) = (0+1,\;0-1,\;0) = (1,-1,0).
  • A e_3 = A(0,0,1) = (0+0,\;0-0,\;0) = (0,0,0).
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A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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