Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. (justifique):
( ) Se A \in M_{3 \times 3} é tal que a terceira coluna é soma das duas primeiras, então A\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right)=\overrightarrow{0} .
( ) Existe matriz não nula A \in M_{2 \times 2} tal que A\binom{1}{0}=\overrightarrow{0} e A\binom{1}{-1}=\overrightarrow{0}.
() Se A é uma matriz 3 \times 3 e A x=\overrightarrow{0} para todo x \in \mathbb{R}^{n}, então A=0.
Passo 1
O enunciado pede para verificar três afirmações sobre matrizes e seus núcleos (null spaces). Vamos usar:
– A multiplicação de matriz por vetor expande-se em combinação linear das colunas de A.
– O Teorema da Dimensão (rank–nullity) para matrizes 2\times2.
– O fato de que, se uma matriz anula todos os vetores, então todas as suas colunas são nulas.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Se A\in M_{3\times3} tem a 3ª coluna igual à soma da 1ª com a 2ª, então
”
Os vetores \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Se ambos estão no núcleo de A, então \dim(\ker A)\ge2. Pelo Teorema da Dimensão, \dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=2, segue \operatorname{rank}(A)=0, ou seja, A é a matriz zero. Não existe, portanto, matriz não nula com essa propriedade. A afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “Se A é 3\times3 e A x=\overrightarrow{0} para todo x\in\mathbb{R}^3, então A=0.”
Se A x=0 para todo x, cada coluna de A (que é A aplicado ao vetor canônico) deve ser o vetor zero. Logo todas as entradas de A são zero e A é a matriz nula. A afirmação é verdadeira.