Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
A variância condicional,
e a variância não condicional de
,
, serão iguais se
não influenciar
.
A variância condicional,
Passo 1
O enunciado dá e/ou afirma as seguintes coisas:
- A variância condicional de
dado é . Isso significa que, para cada valor possível de , o valor da variância condicional é igual a uma mesma constante . - A variância marginal (não condicional) de
é .
A pergunta é: essas duas variâncias (a condicionale a marginal ) serão iguais se “não influenciar” ?
Observação importante (informal): a expressão “X não influenciar Y” pode ser interpretada de maneiras diferentes (por exemplo: independência completa entre
e
; ou apenas ausência de efeito na média, isto é
). Essa ambiguidade vai ser crucial para a resposta.
Passo 2
Definições e fórmula útil (explicadas devagar):
- A variância condicional
é a função aleatória definida por
Isto é: para cada valor de
, calcula-se a variância de
dentro da condição
.
- A variância marginal (ou não condicional) é
ou seja, a dispersão de
sem condicionar em nada.
- A relação fundamental que liga as duas é a chamada fórmula da variância total (law of total variance). Ela diz
Explicando cada termo:
-
é a esperança (média) da variância condicional ao longo da distribuição de . -
é a variância da média condicional quando varia. Se varia com , esse termo é positivo; se for constante (não depende de ), esse termo é zero.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado: o enunciado escreve
(uma constante). Então a primeira parcela da fórmula da variância total fica
Logo
Portanto, para que
seja verdade é necessário e suficiente que
ou seja, que
seja constante (igual a
) para todos os valores de
.
Passo 4
Interpretações da expressão “X não influenciar Y” e o que cada uma implica:
Interpretação A — independência completa:
- Se
e são independentes, então a distribuição condicional de dado coincide com a distribuição marginal de . Em particular (constante) e (independente de ). Nesse caso, se além disso foi dado que para todo , então automaticamente . Conclusão: sob independência, as duas variâncias são iguais.
Interpretação B — “X não influencia a média de Y” (mean independence):
- Suponha apenas que
(a média condicional não depende de ), mas permita que possa depender de . Então pela fórmula da variância total
ou seja, a variância marginal é a média das variâncias condicionais. Nesse cenário, se as variâncias condicionais não forem constantes, a variância marginal não será igual àquela variância condicional para um valor particular de
. Exemplo concreto (contraponto): se
é Bernoulli com
e
então
(não depende de
) mas
toma valores
ou
. Aqui
, que não é igual a
nem a
. Assim, apenas “X não influenciar a média” não garante igualdade entre
e
.
Passo 5
Resumo lógico e conclusão didática:
- A igualdade
ocorre exatamente quando, além de para todo , tem-se também constante (ou seja, ). - Se por “X não influenciar Y” se entende independência total entre
e , então sim: as variâncias condicional e marginal coincidem (são iguais). - Se por “X não influenciar Y” se entende apenas que
não muda a média de , isso não é suficiente: a variância marginal será a média das variâncias condicionais e só coincide com a variância condicional constante se as variâncias condicionais forem de fato constantes em .
Um jeito curto de lembrar na prova: use a fórmula
e veja qual parcela pode ser nula dependendo da hipótese sobre a influência de
.
Resposta
Duvidosa.