Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
A variância condicional, \operatorname{var}\left(Y_{i} \mid X_{i}\right)=\sigma^{2} e a variância não condicional de Y, \operatorname{var}(Y)=\sigma_{Y}^{2}, serão iguais se X não influenciar Y.

Passo 1

O enunciado dá e/ou afirma as seguintes coisas:
  • A variância condicional de Y dado X é \operatorname{var}\!\left(Y_{i}\mid X_{i}\right)=\sigma^{2}. Isso significa que, para cada valor possível de X_i, o valor da variância condicional é igual a uma mesma constante \sigma^{2}.
  • A variância marginal (não condicional) de Y é \operatorname{var}(Y)=\sigma_{Y}^{2}.
    A pergunta é: essas duas variâncias (a condicional \sigma^{2} e a marginal \sigma_{Y}^{2}) serão iguais se X “não influenciar” Y?
Observação importante (informal): a expressão “X não influenciar Y” pode ser interpretada de maneiras diferentes (por exemplo: independência completa entre X e Y; ou apenas ausência de efeito na média, isto é E[Y\mid X]=E[Y]). Essa ambiguidade vai ser crucial para a resposta.

Passo 2

Definições e fórmula útil (explicadas devagar):
  • A variância condicional \operatorname{var}(Y\mid X) é a função aleatória definida por
\operatorname{var}(Y\mid X)=E\big[(Y-E[Y\mid X])^{2}\mid X\big].
Isto é: para cada valor de X, calcula-se a variância de Y dentro da condição X.
  • A variância marginal (ou não condicional) é
\operatorname{var}(Y)=E\big[(Y-E[Y])^{2}\big],
ou seja, a dispersão de Y sem condicionar em nada.
  • A relação fundamental que liga as duas é a chamada fórmula da variância total (law of total variance). Ela diz
\operatorname{var}(Y)=E\big[\operatorname{var}(Y\mid X)\big]+\operatorname{var}\big(E[Y\mid X]\big).
Explicando cada termo:
  • E\big[\operatorname{var}(Y\mid X)\big] é a esperança (média) da variância condicional ao longo da distribuição de X.
  • \operatorname{var}\big(E[Y\mid X]\big) é a variância da média condicional E[Y\mid X] quando X varia. Se E[Y\mid X] varia com X, esse termo é positivo; se E[Y\mid X] for constante (não depende de X), esse termo é zero.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado: o enunciado escreve \operatorname{var}(Y\mid X)=\sigma^{2} (uma constante). Então a primeira parcela da fórmula da variância total fica
E\big[\operatorname{var}(Y\mid X)\big]=E[\sigma^{2}]=\sigma^{2}.
Logo
\operatorname{var}(Y)=\sigma^{2}+\operatorname{var}\big(E[Y\mid X]\big).
Portanto, para que \operatorname{var}(Y)=\sigma^{2} seja verdade é necessário e suficiente que
\operatorname{var}\big(E[Y\mid X]\big)=0,
ou seja, que E[Y\mid X] seja constante (igual a E[Y]) para todos os valores de X.

Passo 4

Interpretações da expressão “X não influenciar Y” e o que cada uma implica:
Interpretação A — independência completa:
  • Se X e Y são independentes, então a distribuição condicional de Y dado X coincide com a distribuição marginal de Y. Em particular E[Y\mid X]=E[Y] (constante) e \operatorname{var}(Y\mid X)=\operatorname{var}(Y) (independente de X). Nesse caso, se além disso foi dado que \operatorname{var}(Y\mid X)=\sigma^{2} para todo X, então automaticamente \operatorname{var}(Y)=\sigma^{2}. Conclusão: sob independência, as duas variâncias são iguais.
Interpretação B — “X não influencia a média de Y” (mean independence):
  • Suponha apenas que E[Y\mid X]=E[Y] (a média condicional não depende de X), mas permita que \operatorname{var}(Y\mid X) possa depender de X. Então pela fórmula da variância total
\operatorname{var}(Y)=E\big[\operatorname{var}(Y\mid X)\big],
ou seja, a variância marginal é a média das variâncias condicionais. Nesse cenário, se as variâncias condicionais não forem constantes, a variância marginal não será igual àquela variância condicional para um valor particular de X. Exemplo concreto (contraponto): se X é Bernoulli com P(X=0)=P(X=1)=1/2 e
Y\mid(X=0)\sim N(0,1),\qquad Y\mid(X=1)\sim N(0,4),
então E[Y\mid X]=0 (não depende de X) mas \operatorname{var}(Y\mid X) toma valores 1 ou 4. Aqui \operatorname{var}(Y)=E[\operatorname{var}(Y\mid X)]=\tfrac{1+4}{2}=2{,}5, que não é igual a 1 nem a 4. Assim, apenas “X não influenciar a média” não garante igualdade entre \sigma^{2} e \sigma_Y^{2}.

Passo 5

Resumo lógico e conclusão didática:
  • A igualdade \operatorname{var}(Y)=\sigma^{2} ocorre exatamente quando, além de \operatorname{var}(Y\mid X)=\sigma^{2} para todo X, tem-se também E[Y\mid X] constante (ou seja, \operatorname{var}(E[Y\mid X])=0).
  • Se por “X não influenciar Y” se entende independência total entre X e Y, então sim: as variâncias condicional e marginal coincidem (são iguais).
  • Se por “X não influenciar Y” se entende apenas que X não muda a média de Y, isso não é suficiente: a variância marginal será a média das variâncias condicionais e só coincide com a variância condicional constante se as variâncias condicionais forem de fato constantes em X.
Um jeito curto de lembrar na prova: use a fórmula
\operatorname{var}(Y)=E\big[\operatorname{var}(Y\mid X)\big]+\operatorname{var}\big(E[Y\mid X]\big),
e veja qual parcela pode ser nula dependendo da hipótese sobre a influência de X.

Resposta

Duvidosa.

Exercícios relacionados