Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= x^3-xraizx-1, & x>1,[6pt] 1, & x<=1,
e pede para verificar se f é contínua e derivável em x0=1. Para isso vamos comparar os limites laterais em x=1 com o valor f(1) e, se necessário, checar o limite de diferença quociente.]
Passo 2
Calculamos o limite pela direita, para xto1^+. Note que
Pela esquerda, para xto1^-, usa-se o ramo f(x)=1. Logo,
limxto1^-f(x)=1
Além disso, como 1<=1, o valor da função em x=1 é
f(1)=1
Passo 4
Como
limxto1^+f(x)=0 e limxto1^-f(x)=1,
os limites laterais não coincidem. Logo fnão é contínua em x=1. E, sendo requisito para a derivabilidade a continuidade, f também não é derivável em x=1.
Resposta
A função não é contínua em x0=1 e, consequentemente, não é derivável em x0=1.