Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
f(x)=cccx^3-xraizx-1 & , se x>1 1 & , se x <= 1 x0=1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^3-xraizx-1, & x>1,[6pt] 1, & x<=1,
e pede para verificar se f é contínua e derivável em x0=1. Para isso vamos comparar os limites laterais em x=1 com o valor f(1) e, se necessário, checar o limite de diferença quociente.]

Passo 2

Calculamos o limite pela direita, para xto1^+. Note que
x^3-x = x(x^2-1)=x(x-1)(x+1),
portanto, para x>1,
f(x) = x(x-1)(x+1)raizx-1 = x(x+1),raizx-1
Assim,
limxto1^+f(x) = limxto1^+ x(x+1),raizx-1 = 1cdot2cdot0 = 0

Passo 3

Pela esquerda, para xto1^-, usa-se o ramo f(x)=1. Logo,
limxto1^-f(x)=1
Além disso, como 1<=1, o valor da função em x=1 é
f(1)=1

Passo 4

Como
limxto1^+f(x)=0 e limxto1^-f(x)=1,
os limites laterais não coincidem. Logo f não é contínua em x=1. E, sendo requisito para a derivabilidade a continuidade, f também não é derivável em x=1.

Resposta

A função não é contínua em x0=1 e, consequentemente, não é derivável em x0=1.

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