Verifique se F é uma primitiva de f:
F(x)=\ln (\ln x), f(x)=(x \ln x)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se F é uma primitiva de f.
Dados fornecidos:
F(x)=\ln(\ln x),\qquad f(x)=(x\ln x)^{-1}=\frac{1}{x\ln x}.
Ou seja, precisamos checar se ao derivar F obtemos exatamente f. Não vamos resolver nada ainda, só deixei claro o que é pedido e os dados.

Passo 2

Determinar o domínio onde a verificação faz sentido.
A função F(x)=\ln(\ln x) só está definida quando o argumento do log externo é positivo, isto é \ln x>0. Isso ocorre quando x>1. Portanto só podemos falar em derivada de F e comparar com f para x>1. Anote que f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} também só faz sentido para x>1 (ou para x<1 com \ln x<0, mas F não está definida aí). Concluímos que a verificação será no intervalo x>1.

Passo 3

Relembrando a regra que vamos usar (a “aula” rápida): regra da cadeia.
Se tivermos uma função composta G(x)=g(h(x)), então a derivada é
G'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui é conveniente ver F como composição de duas funções: g(u)=\ln u e h(x)=\ln x. Ou seja F(x)=g(h(x)). Também precisamos da derivada básica \dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac{1}{u} válida para u>0. Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia a F(x)=\ln(\ln x): coloque u=\ln x. Então g(u)=\ln u e h(x)=\ln x. Usando g'(u)=\dfrac{1}{u} e h'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}, obtemos
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando o produto:
F'(x)=\frac{1}{x\ln x}.
Esse cálculo é válido para x>1, onde \ln x>0.

Passo 5

Comparando o resultado com f(x): temos F'(x)=\dfrac{1}{x\ln x} e f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}. Logo, para todo x>1,
F'(x)=f(x).
Portanto F é uma primitiva de f no intervalo (1,\infty). (Observação amigável: primitivas são sempre determinadas até uma constante; aqui mostramos que a derivada de F coincide com f naquele intervalo.)

Resposta

Sim. F'(x)=f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} para x>1.

Exercícios relacionados