Verifique se
é uma primitiva de
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é uma primitiva de
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Ou seja, precisamos checar se ao derivar
obtemos exatamente
. Não vamos resolver nada ainda, só deixei claro o que é pedido e os dados.
Passo 2
Determinar o domínio onde a verificação faz sentido.
A função só está definida quando o argumento do log externo é positivo, isto é
. Isso ocorre quando
. Portanto só podemos falar em derivada de
e comparar com
para
. Anote que
também só faz sentido para
(ou para
com
, mas
não está definida aí). Concluímos que a verificação será no intervalo
.
A função
Passo 3
Relembrando a regra que vamos usar (a “aula” rápida): regra da cadeia.
Se tivermos uma função composta , então a derivada é
Se tivermos uma função composta
Aqui é conveniente ver
como composição de duas funções:
e
. Ou seja
. Também precisamos da derivada básica
válida para
. Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia a
: coloque
. Então
e
. Usando
e
, obtemos
Simplificando o produto:
Esse cálculo é válido para
, onde
.
Passo 5
Comparando o resultado com
: temos
e
. Logo, para todo
,
Portanto
é uma primitiva de
no intervalo
. (Observação amigável: primitivas são sempre determinadas até uma constante; aqui mostramos que a derivada de
coincide com
naquele intervalo.)
Resposta
Sim.
para
.